Goldbachs problem er et af de ældste og mest hypede problemer i al matematiks historie.
Denne formodning har vist sig at være sand for alle heltal mindre end 4 × 1018, men forbliver ubevist trods betydelige anstrengelser fra matematikere.
Number
Goldbach-tallet er et positivt lige heltal, der er summen af et par ulige primtal. En anden form for Goldbach-formodningen er, at alle lige heltal større end fire er Goldbach-tal.
Adskillelse af sådanne numre kaldes Goldbachs partition (eller partition). Nedenfor er eksempler på lignende sektioner for nogle lige tal:
6=3 + 38=3 + 510=3 + 7=5 + 512=7 + 5…100=3 + 97=11 + 89=17 + 83=29 + 71=41 + 59=47 + 53,
Opdagelse af hypotesen
Goldbach havde en kollega ved navn Euler, som kunne lide at tælle, skrive komplekse formler og fremsætte uløselige teorier. I dette lignede de Goldbach. Euler lavede en lignende matematisk gåde selv før Goldbach, som hankonstant korrespondance. Han foreslog derefter et andet forslag i margenen af sit manuskript, ifølge hvilket et heltal større end 2 kunne skrives som summen af tre primtal. Han anså 1 for at være et primtal.
De to hypoteser er nu kendt for at være ens, men det så ikke ud til at være et problem på det tidspunkt. Den moderne version af Goldbachs problem siger, at hvert heltal større end 5 kan skrives som summen af tre primtal. Euler svarede i et brev dateret den 30. juni 1742 og mindede Goldbach om en tidligere samtale, de havde ("… så vi taler om den oprindelige (og ikke marginale) hypotese, der stammer fra følgende udsagn").
Euler-Goldbach-problem
2 og dets lige tal kan skrives som summen af to primtal, hvilket også er Goldbachs formodning. I et brev dateret den 30. juni 1742 udt alte Euler, at hvert lige heltal er resultatet af tilføjelsen af to primtal, som han anser for at være en veldefineret teorem, selvom han ikke kan bevise det.
Tredje version
Den tredje version af Goldbachs problem (svarende til de to andre versioner) er den form, som formodningen norm alt gives i i dag. Den er også kendt som den "stærke", "lige" eller "binære" Goldbach-formodning for at skelne den fra den svagere hypotese kendt i dag som den "svage", "ulige" eller "ternære" Goldbach-formodning. Den svage formodning siger, at alle ulige tal større end 7 er summen af tre ulige primtal. Den svage formodning blev bevist i 2013. Den svage hypotese eren konsekvens af en stærk hypotese. Den omvendte konsekvens og den stærke Goldbach-formodning forbliver ubevist den dag i dag.
Check
For små værdier af n kan Goldbach-problemet (og dermed Goldbach-formodningen) verificeres. For eksempel testede Nils Pipping i 1938 omhyggeligt hypotesen op til n ≦ 105. Med fremkomsten af de første computere blev mange flere værdier af n beregnet.
Oliveira Silva udførte en distribueret computersøgning, der bekræftede hypotesen for n ≦ 4 × 1018 (og dobbelttjekket op til 4 × 1017) fra 2013. En indtastning fra denne søgning er, at 3.325.581.707.333.960.528 er det mindste tal, der ikke har en Goldbach-opdeling med et primtal under 9781.
Heuristics
Versionen for den stærke form af Goldbachs formodning er som følger: da størrelsen har en tendens til uendelig, når n stiger, forventer vi, at hvert stort lige heltal har mere end én repræsentation som summen af to primtal. Men faktisk er der mange sådanne repræsentationer. Hvem løste Goldbach-problemet? Ak, stadig ingen.
Dette heuristiske argument er faktisk noget upræcist, da det antager, at m er statistisk uafhængig af n. For eksempel, hvis m er ulige, så er n - m også ulige, og hvis m er lige, så er n - m lige, og dette er en ikke-triviel (kompleks) relation, fordi bortset fra tallet 2, kun ulige tal kan være primtal. På samme måde, hvis n er delelig med 3 og m allerede var et andet primtal end 3, så er n - m også gensidigtprime med 3, så mere tilbøjelige til at være et primtal i modsætning til et samlet tal. Ved at udføre denne type analyse mere omhyggeligt, lavede Hardy og Littlewood i 1923, som en del af deres berømte Hardy-Littlewood simple tupelformodning, ovenstående forfining af hele teorien. Men det har ikke hjulpet med at løse problemet indtil videre.
Stærk hypotese
Den stærke Goldbach-formodning er meget mere kompliceret end den svage Goldbach-formodning. Shnirelman beviste senere, at ethvert naturligt tal større end 1 kan skrives som summen af højst C-primtal, hvor C er en effektivt beregnelig konstant. Mange matematikere forsøgte at løse det ved at tælle og gange tal, tilbyde komplekse formler osv. Men det lykkedes aldrig, for hypotesen er for kompliceret. Ingen formler hjalp.
Men det er værd at gå lidt væk fra spørgsmålet om at bevise Goldbachs problem. Shnirelman-konstanten er det mindste C-tal med denne egenskab. Shnirelman fik selv C <800 000. Dette resultat blev efterfølgende suppleret af mange forfattere, såsom Olivier Ramaret, der viste i 1995, at hvert lige tal n ≧ 4 faktisk er summen af højst seks primtal. Det mest berømte resultat i øjeblikket forbundet med Goldbach-teorien af Harald Helfgott.
Yderligere udvikling
I 1924 overtog Hardy og Littlewood G. R. H. viste, at antallet af lige tal op til X, hvilket overtræder det binære Goldbach-problem, er meget mindre end for små c.
I 1973 Chen JingyunJeg prøvede at løse dette problem, men det virkede ikke. Han var også matematiker, så han var meget glad for at løse gåder og bevise teoremer.
I 1975 viste to amerikanske matematikere, at der er positive konstanter c og C - dem, som N er tilstrækkelig stor til. Især mængden af lige heltal har nul tæthed. Alt dette var nyttigt til arbejdet med løsningen af det ternære Goldbach-problem, som vil finde sted i fremtiden.
I 1951 beviste Linnik eksistensen af en konstant K, således at hvert tilstrækkeligt stort lige tal er resultatet af at lægge et primtal og et andet primtal til hinanden. Roger Heath-Brown og Jan-Christoph Schlage-Puchta fandt i 2002 ud af, at K=13 virker. Dette er meget interessant for alle mennesker, der kan lide at lægge til hinanden, lægge forskellige tal sammen og se, hvad der sker.
Løsning af Goldbach-problemet
Som med mange velkendte formodninger i matematik, er der en række påståede beviser for Goldbach-formodningen, hvoraf ingen er accepteret af det matematiske samfund.
Selvom Goldbachs formodning indebærer, at hvert positivt heltal større end et kan skrives som summen af højst tre primtal, er det ikke altid muligt at finde en sådan sum ved at bruge en grådig algoritme, der bruger det størst mulige primtal ved hvert trin. Pillai-sekvensen holder styr på de tal, der kræver flest primtal i deres grådige repræsentationer. Derfor er løsningen på Goldbach-problemetstadig på tale. Ikke desto mindre vil det før eller siden højst sandsynligt blive løst.
Der er teorier, der ligner Goldbachs problem, hvor primtal erstattes af andre specifikke talsæt, såsom kvadrater.
Christian Goldbach
Christian Goldbach var en tysk matematiker, der også studerede jura. Han huskes i dag for Goldbach-formodningen.
Han arbejdede som matematiker hele sit liv - han var meget glad for at tilføje tal, opfinde nye formler. Han kunne også flere sprog, på hvert af hvilke han førte sin personlige dagbog. Disse sprog var tysk, fransk, italiensk og russisk. Også ifølge nogle kilder t alte han engelsk og latin. Han var kendt som en ret kendt matematiker i sin levetid. Goldbach var også ret tæt forbundet med Rusland, fordi han havde mange russiske kolleger og kongefamiliens personlige gunst.
Han fortsatte med at arbejde på det nyåbnede St. Petersborgs Videnskabsakademi i 1725 som professor i matematik og historiker ved akademiet. I 1728, da Peter II blev zar af Rusland, blev Goldbach hans mentor. I 1742 trådte han ind i det russiske udenrigsministerium. Det vil sige, at han faktisk arbejdede i vores land. På det tidspunkt kom mange videnskabsmænd, forfattere, filosoffer og militærfolk til Rusland, fordi Rusland på det tidspunkt var et land med muligheder som Amerika. Mange har gjort karriere her. Og vores helt er ingen undtagelse.
Christian Goldbach var flersproget - han skrev en dagbog på tysk og latin, hans breveblev skrevet på tysk, latin, fransk og italiensk, og til officielle dokumenter brugte han russisk, tysk og latin.
Han døde den 20. november 1764 i en alder af 74 i Moskva. Den dag, hvor Goldbachs problem er løst, vil være en passende hyldest til hans minde.
Konklusion
Goldbach var en stor matematiker, der gav os et af de største mysterier i denne videnskab. Det vides ikke, om det nogensinde bliver løst eller ej. Vi ved kun, at dens formodede opløsning, som i tilfældet med Fermats sætning, vil åbne nye perspektiver for matematik. Matematikere er meget glade for at løse og analysere det. Det er meget interessant og nysgerrigt ud fra et heuristisk synspunkt. Selv matematikstuderende kan lide at løse Goldbach-problemet. Hvordan ellers? Unge mennesker er jo konstant tiltrukket af alt lyst, ambitiøst og uforløst, for ved at overvinde vanskeligheder kan man hævde sig selv. Lad os håbe, at dette problem snart vil blive løst af unge, ambitiøse, nysgerrige hjerner.
