Området med en keglestub. Eksempel på formel og problem

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sidst ændret: 2023-12-17 05:21

Revolutionsfigurerne i geometri får særlig opmærksomhed, når de studerer deres karakteristika og egenskaber. En af dem er en keglestub. Denne artikel har til formål at besvare spørgsmålet om, hvilken formel der kan bruges til at beregne arealet af en keglestub.

Hvilken figur taler vi om?

Før arealet af en keglestub beskrives, er det nødvendigt at give en nøjagtig geometrisk definition af denne figur. Afkortet er en sådan kegle, som opnås som et resultat af at afskære toppunktet på en almindelig kegle af et fly. I denne definition bør en række nuancer fremhæves. For det første skal sektionsplanet være parallelt med planet for keglens bund. For det andet skal den originale figur være en cirkulær kegle. Selvfølgelig kan det være en elliptisk, hyperbolsk og anden type figur, men i denne artikel vil vi begrænse os til kun at overveje en cirkulær kegle. Sidstnævnte er vist i figuren nedenfor.

Det er let at gætte, at det ikke kun kan opnås ved hjælp af et snit ved et fly, men også ved hjælp af en rotationsoperation. TilFor at gøre dette skal du tage en trapez, der har to rette vinkler og dreje den rundt om den side, der støder op til disse rette vinkler. Som et resultat heraf vil baserne af trapezoidet blive radierne af baserne af den afkortede kegle, og den laterale skrå side af trapezoiden vil beskrive den koniske overflade.

Formudvikling

I betragtning af overfladearealet af en afkortet kegle er det nyttigt at bringe dens udvikling, det vil sige billedet af overfladen af en tredimensionel figur på et plan. Nedenfor er en scanning af den undersøgte figur med vilkårlige parametre.

Det kan ses, at arealet af figuren er dannet af tre komponenter: to cirkler og et afkortet cirkulært segment. For at bestemme det krævede område er det naturligvis nødvendigt at tilføje områderne for alle de navngivne figurer. Lad os løse dette problem i næste afsnit.

Trunkeret kegleområde

For at gøre det lettere at forstå følgende ræsonnement introducerer vi følgende notation:

• r1, r2 - radius af henholdsvis den store og den lille base;
• h - figurhøjde;
• g - keglens generatrix (længden af den skrå side af trapezformen).

Arealet af baserne på en keglestub er let at beregne. Lad os skrive de tilsvarende udtryk:

S_o1=pir₁²;

S_o2=pir₂².

Arealet af en del af et cirkulært segment er noget sværere at bestemme. Hvis vi forestiller os, at midten af denne cirkulære sektor ikke er skåret ud, så vil dens radius være lig med værdien G. Det er ikke svært at beregne det, hvis vi betragter den tilsvarendelignende retvinklede kegletrekanter. Det er lig med:

G=r₁g/(r₁-r₂).

Så vil arealet af hele den cirkulære sektor, som er bygget på radius G, og som er afhængig af en bue med længden 2pir₁, være ens til:

S₁=pir₁G=pir₁ ²g/(r₁-r₂).

Lad os nu bestemme arealet af den lille cirkulære sektor S₂, som skal trækkes fra S₁. Det er lig med:

S₂=pir₂(G - g)=pir_{2 (r}1_g/(r1_-r2_{) - g)=pir}22^g/(r1_-r2 _).

Arealet af den koniske afkortede overflade S_ber lig med forskellen mellem S₁ og S ₂. Vi får:

S_b=S₁- S₂=pir ₁²g/(r₁-r₂) - pi r₂²g/(r₁-r_2)=pig(r1_+r2_).

På trods af nogle besværlige udregninger fik vi et ret simpelt udtryk for arealet af figurens sideflade.

Ved tilføjelse af arealerne af baserne og S_b, når vi frem til formlen for arealet af en keglestub:

S=S_o1+ S_o2+ S_b=pir 12 ^{+ pir}22 ^{+ pig (r}1_+r2_).

For at beregne værdien af S af den undersøgte figur skal du kende dens tre lineære parametre.

Eksempelproblem

Cirkulær lige keglemed en radius på 10 cm og en højde på 15 cm blev afskåret af et plan, så der opnåedes en regulær keglestub. Når man ved, at afstanden mellem baserne på den afkortede figur er 10 cm, er det nødvendigt at finde dens overfladeareal.

For at bruge formlen for arealet af en keglestub skal du finde tre af dens parametre. En vi kender:

r₁=10 cm.

De to andre er nemme at beregne, hvis vi betragter lignende retvinklede trekanter, som opnås som et resultat af keglens aksiale snit. Under hensyntagen til problemets tilstand får vi:

r₂=105/15=3,33 cm.

Til sidst vil guiden for den afkortede kegle g være:

g=√(10²+ (r₁-r₂) ²)=12,02 cm.

Nu kan du erstatte værdierne r₁, r₂ og g i formlen for S:

S=pir₁²+ pir₂ 2^{+ pig(r}1_+r2_{)=851,93 cm} 2.

Det ønskede overfladeareal af figuren er cirka 852 cm².