En af de grene af matematikken, som skolebørn har de største vanskeligheder med, er trigonometri. Ikke underligt: For frit at mestre dette vidensområde har du brug for rumlig tænkning, evnen til at finde sinus, cosinus, tangenter, cotangenter ved hjælp af formler, forenkle udtryk og være i stand til at bruge tallet pi i beregninger. Derudover skal du kunne anvende trigonometri, når du skal bevise sætninger, og det kræver enten en udviklet matematisk hukommelse eller evnen til at udlede komplekse logiske kæder.
The Origins of Trigonometry
Introduktion til denne videnskab bør begynde med definitionen af sinus, cosinus og tangens af en vinkel, men først skal du finde ud af, hvad trigonometri gør generelt.
Historisk set har retvinklede trekanter været hovedobjektet for forskning i denne sektion af matematisk videnskab. Tilstedeværelsen af en vinkel på 90 grader gør det muligt at udføre forskellige operationer, der tillader tosider og et hjørne eller to hjørner og en side for at bestemme værdierne for alle parametre i den pågældende figur. Tidligere lagde folk mærke til dette mønster og begyndte aktivt at bruge det til konstruktion af bygninger, navigation, astronomi og endda kunst.
Inception
I begyndelsen t alte folk udelukkende om forholdet mellem vinkler og sider på eksemplet med retvinklede trekanter. Så blev der opdaget specielle formler, som gjorde det muligt at udvide grænserne for brugen i hverdagen for dette afsnit af matematikken.
Undersøgelsen af trigonometri på skolen i dag begynder med rette trekanter, hvorefter den opnåede viden bruges af elever i fysik og løsning af abstrakte trigonometriske ligninger, som arbejdet med begynder i gymnasiet.
Sfærisk trigonometri
Senere, da videnskaben nåede det næste udviklingsniveau, begyndte formler med sinus, cosinus, tangens, cotangens at blive brugt i sfærisk geometri, hvor andre regler gælder, og summen af vinklerne i en trekant er altid mere end 180 grader. Dette afsnit studeres ikke i skolen, men det er nødvendigt at vide om dets eksistens, i det mindste fordi jordens overflade, og overfladen af enhver anden planet, er konveks, hvilket betyder, at enhver markering af overfladen vil være "bueformet " i tredimensionelt rum.
Tag en globus og en tråd. Fastgør tråden til to vilkårlige punkter på kloden, så den er stram. Vær opmærksom - den har fået form som en bue. Den omhandler sådanne formersfærisk geometri brugt i geodæsi, astronomi og andre teoretiske og anvendte områder.
Højre trekant
Efter at have lært lidt om måderne at bruge trigonometri, lad os vende tilbage til grundlæggende trigonometri for yderligere at forstå, hvad sinus, cosinus, tangent er, hvilke beregninger der kan udføres med deres hjælp, og hvilke formler der skal bruges.
Først og fremmest skal du forstå begreberne relateret til en retvinklet trekant. For det første er hypotenusen siden modsat 90 graders vinkel. Hun er den længste. Vi husker, at ifølge Pythagoras sætning er dens numeriske værdi lig med roden af summen af kvadraterne på de to andre sider.
For eksempel, hvis to sider er henholdsvis 3 og 4 centimeter, vil længden af hypotenusen være 5 centimeter. Forresten vidste de gamle egyptere om dette for omkring fire et halvt tusind år siden.
De to resterende sider, der danner en ret vinkel, kaldes ben. Derudover skal vi huske, at summen af vinklerne i en trekant i et rektangulært koordinatsystem er 180 grader.
Definition
Når vi endelig har en solid forståelse af den geometriske base, kan vi vende os til definitionen af sinus, cosinus og tangens af en vinkel.
Sinus af en vinkel er forholdet mellem det modsatte ben (det vil sige siden modsat den ønskede vinkel) og hypotenusen. Cosinus for en vinkel er forholdet mellem det tilstødende ben og hypotenusen.
Husk, at hverken sinus eller cosinus kan være større end én! Hvorfor?Fordi hypotenusen som standard er den længste side af en retvinklet trekant. Uanset hvor langt benet er, vil det være kortere end hypotenusen, hvilket betyder, at deres forhold altid vil være mindre end én. Så hvis du får en sinus eller cosinus med en værdi større end 1 i svaret på opgaven, skal du kigge efter en fejl i beregninger eller ræsonnementer. Dette svar er helt klart forkert.
Til sidst er tangenten af en vinkel forholdet mellem den modsatte side og den tilstødende side. Det samme resultat vil give divisionen af sinus med cosinus. Se: ifølge formlen dividerer vi længden af siden med hypotenusen, hvorefter vi dividerer med længden af den anden side og gange med hypotenusen. Således får vi det samme forhold som i definitionen af tangenten.
Cotangent er henholdsvis forholdet mellem den side, der støder op til hjørnet, og den modsatte side. Vi får det samme resultat ved at dividere enheden med tangenten.
Så vi har overvejet definitionerne af, hvad der er sinus, cosinus, tangent og cotangens, og vi kan beskæftige os med formler.
enkle formler
I trigonometri kan man ikke undvære formler - hvordan finder man sinus, cosinus, tangent, cotangens uden dem? Men det er præcis, hvad der kræves, når man løser problemer.
Den første formel, du skal vide, når du begynder at studere trigonometri, siger, at summen af kvadraterne af sinus og cosinus i en vinkel er lig med én. Denne formel er en direkte konsekvens af Pythagoras sætning, men den sparer tid, hvis du skal finde ud af værdien af vinklen, ikke siden.
Mange studerende kan ikke huske den anden formel, også megetpopulær til løsning af skoleopgaver: summen af en og kvadratet af tangens af en vinkel er lig med en divideret med kvadratet af vinklens cosinus. Se nærmere: Det er trods alt det samme udsagn som i den første formel, kun begge sider af identiteten blev divideret med kvadratet af cosinus. Det viser sig, at en simpel matematisk operation gør den trigonometriske formel fuldstændig uigenkendelig. Husk: Ved at vide, hvad en sinus, cosinus, tangent og cotangens er, konverteringsreglerne og nogle få grundlæggende formler, kan du til enhver tid selvstændigt udlede de nødvendige mere komplekse formler på et stykke papir.
Dobbeltvinkelformler og tilføjelse af argumenter
To formler mere at lære er relateret til sinus- og cosinusværdierne for summen og forskellen af vinkler. De er vist i figuren nedenfor. Bemærk venligst, at i det første tilfælde ganges sinus og cosinus begge gange, og i det andet tilfælde adderes det parvise produkt af sinus og cosinus.
Der er også formler forbundet med dobbeltvinkelargumenter. De er fuldstændig afledt af de foregående - som en praksis, prøv at få dem selv ved at tage alfavinklen lig med betavinklen.
Bemærk endelig, at dobbeltvinkelformlerne kan konverteres for at reducere graden af sinus, cosinus, tangent alfa.
Sætninger
De to hovedsætninger i grundlæggende trigonometri er sinussætningen og cosinussætningen. Ved hjælp af disse teoremer kan du nemt forstå, hvordan man finder sinus, cosinus og tangent, og dermed arealet af figuren og størrelsenhver side osv.
Sinussætningen siger, at som et resultat af at dividere længden af hver af siderne i en trekant med værdien af den modsatte vinkel, får vi det samme tal. Desuden vil dette tal være lig med to radier af den omskrevne cirkel, dvs. den cirkel, der indeholder alle punkter i den givne trekant.
Cosinussætningen generaliserer Pythagoras sætning, og projicerer den på alle trekanter. Det viser sig, at fra summen af kvadraterne på de to sider skal du trække deres produkt multipliceret med den dobbelte cosinus af vinklen ved siden af dem - den resulterende værdi vil være lig med kvadratet på den tredje side. Pythagoras sætning viser sig således at være et speci altilfælde af cosinussætningen.
Fejl på grund af uopmærksomhed
Selv ved hvad sinus, cosinus og tangens er, er det let at lave en fejl på grund af fravær eller en fejl i de enkleste beregninger. For at undgå sådanne fejl, lad os tage et kig på de mest populære.
For det første skal du ikke konvertere almindelige brøker til decimaler, før du får det endelige resultat - du kan lade svaret være en almindelig brøk, medmindre andet er angivet i betingelsen. En sådan transformation kan ikke kaldes en fejl, men det skal huskes, at der på hvert trin af opgaven kan dukke nye rødder op, som ifølge forfatterens idé bør reduceres. I dette tilfælde vil du spilde tid på unødvendige matematiske operationer. Dette gælder især for værdier som roden af tre eller to, fordi de forekommer i opgaver ved hvert trin. Det samme gælder afrunding."grimme" tal.
Bemærk dernæst, at cosinussætningen gælder for enhver trekant, men ikke Pythagoras sætning! Hvis du ved en fejl glemmer at trække to gange produktet af siderne ganget med cosinus af vinklen mellem dem, vil du ikke kun få et helt forkert resultat, men også demonstrere en fuldstændig misforståelse af emnet. Dette er værre end en skødesløs fejltagelse.
For det tredje må du ikke forveksle værdierne for vinkler på 30 og 60 grader for sinus, cosinus, tangenter, cotangenter. Husk disse værdier, fordi sinus på 30 grader er lig med cosinus på 60 og omvendt. Det er nemt at blande dem sammen, og du vil uundgåeligt få et fejlagtigt resultat.
Application
Mange studerende har ikke travlt med at begynde at studere trigonometri, fordi de ikke forstår dens anvendte betydning. Hvad er sinus, cosinus, tangens for en ingeniør eller astronom? Dette er begreber, takket være hvilke du kan beregne afstanden til fjerne stjerner, forudsige faldet af en meteorit, sende en forskningssonde til en anden planet. Uden dem er det umuligt at bygge en bygning, designe en bil, beregne belastningen på overfladen eller en genstands bane. Og disse er blot de mest åbenlyse eksempler! Trigonometri i en eller anden form bruges trods alt over alt, fra musik til medicin.
Afslutningsvis
Så du ved, hvad sinus, cosinus, tangens er. Du kan bruge dem i beregninger og med succes løse skoleproblemer.
Hele pointentrigonometri reduceres til det faktum, at det ifølge trekantens kendte parametre er nødvendigt at beregne de ukendte. Der er seks parametre i alt: længden af tre sider og størrelsen af tre vinkler. Hele forskellen i opgaverne ligger i, at der gives forskellige inputdata.
Hvordan man finder sinus, cosinus, tangens baseret på de kendte længder af benene eller hypotenusen, ved du nu. Da disse udtryk ikke betyder andet end et forhold, og et forhold er en brøk, er hovedmålet med det trigonometriske problem at finde rødderne til en almindelig ligning eller et ligningssystem. Og her vil den sædvanlige skolematematik hjælpe dig.
