Sandsynlighedsteori er en særlig gren af matematik, som kun studeres af studerende fra højere uddannelsesinstitutioner. Elsker du beregninger og formler? Er du ikke bange for udsigterne til bekendtskab med normalfordelingen, ensemblets entropi, den matematiske forventning og variansen af en diskret stokastisk variabel? Så vil dette emne have stor interesse for dig. Lad os stifte bekendtskab med nogle af de vigtigste grundlæggende begreber i denne del af videnskaben.
Husk det grundlæggende
Selv hvis du husker de enkleste begreber inden for sandsynlighedsteori, så forsøm ikke artiklens første afsnit. Faktum er, at uden en klar forståelse af det grundlæggende, vil du ikke være i stand til at arbejde med formlerne diskuteret nedenfor.
Så der er en tilfældig begivenhed, et eksperiment. Som et resultat af de udførte handlinger kan vi få flere udfald – nogle af dem er mere almindelige, andre mindre almindelige. Sandsynligheden for en hændelse er forholdet mellem antallet af faktisk modtagne udfald af én type og det samlede antal mulige. Kun ved at kende den klassiske definition af dette begreb, kan du begynde at studere den matematiske forventning og varians af kontinuerligtilfældige variable.
Aritmetisk gennemsnit
Selv i skolen begyndte du i matematiktimerne at arbejde med det aritmetiske gennemsnit. Dette begreb er meget brugt i sandsynlighedsteori, og det kan derfor ikke ignoreres. Det vigtigste for os i øjeblikket er, at vi vil støde på det i formlerne for den matematiske forventning og varians af en tilfældig variabel.
Vi har en talfølge og ønsker at finde det aritmetiske middelværdi. Det eneste, der kræves af os, er at summere alt tilgængeligt og dividere med antallet af elementer i sekvensen. Lad os have tal fra 1 til 9. Summen af elementerne bliver 45, og vi deler denne værdi med 9. Svar: - 5.
Dispersion
Videnskabeligt set er varians middelkvadraten af afvigelserne af de opnåede egenskabsværdier fra det aritmetiske middelværdi. Den ene er betegnet med et stort latinsk bogstav D. Hvad skal der til for at beregne det? For hvert element i sekvensen beregner vi forskellen mellem det tilgængelige tal og det aritmetiske middelværdi og kvadrerer det. Der vil være præcis lige så mange værdier, som der kan være resultater for den begivenhed, vi overvejer. Dernæst opsummerer vi alt modtaget og dividerer med antallet af elementer i sekvensen. Hvis vi har fem mulige udfald, skal du dividere med fem.
Dispersion har også egenskaber, som du skal huske for at kunne anvende det, når du løser problemer. For eksempel, hvis den tilfældige variabel øges med X gange, øges variansen med X gange kvadratet (dvs. XX). Det er aldrig mindre end nul og afhænger ikke afat flytte værdier med en ens værdi op eller ned. For uafhængige forsøg er variansen af summen også lig med summen af varianserne.
Nu skal vi bestemt overveje eksempler på variansen af en diskret tilfældig variabel og den matematiske forventning.
Antag, at vi kørte 21 eksperimenter og fik 7 forskellige resultater. Vi observerede hver af dem henholdsvis 1, 2, 2, 3, 4, 4 og 5 gange. Hvad vil afvigelsen være?
Først, lad os beregne det aritmetiske middelværdi: summen af elementerne er selvfølgelig 21. Divider det med 7, få 3. Træk nu 3 fra hvert tal i den oprindelige rækkefølge, kvadrat hver værdi og addér resultaterne sammen. Det viser sig 12. Nu er det tilbage for os at dividere tallet med antallet af elementer, og det ser ud til, at det er alt. Men der er en fangst! Lad os diskutere det.
Afhængighed af antallet af eksperimenter
Det viser sig, at når man beregner variansen, kan nævneren være et af to tal: enten N eller N-1. Her er N antallet af udførte eksperimenter eller antallet af elementer i sekvensen (som faktisk er det samme). Hvad afhænger det af?
Hvis antallet af tests måles i hundreder, skal vi sætte N i nævneren. Hvis i enheder, så N-1. Forskerne besluttede at tegne grænsen helt symbolsk: i dag løber den langs tallet 30. Hvis vi udførte mindre end 30 eksperimenter, vil vi dividere mængden med N-1, og hvis mere, så med N.
Opgave
Lad os gå tilbage til vores eksempel på løsning af varians- og forventningsproblemet. Vifik et mellemtal på 12, som skulle divideres med N eller N-1. Da vi udførte 21 eksperimenter, hvilket er mindre end 30, vil vi vælge den anden mulighed. Så svaret er: variansen er 12/2=2.
Forventning
Lad os gå videre til det andet koncept, som vi skal overveje i denne artikel. Den matematiske forventning er resultatet af at lægge alle mulige udfald ganget med de tilsvarende sandsynligheder. Det er vigtigt at forstå, at den resulterende værdi, såvel som resultatet af beregningen af variansen, kun opnås én gang for hele opgaven, uanset hvor mange udfald den betragter.
Forventningsformlen er ret enkel: vi tager et udfald, multiplicerer det med dets sandsynlighed, lægger det samme sammen for det andet, tredje resultat osv. Alt relateret til dette koncept er let at beregne. For eksempel er summen af matematiske forventninger lig med den matematiske forventning af summen. Det samme gælder for arbejdet. Ikke enhver størrelse i sandsynlighedsteorien tillader sådanne simple operationer at blive udført. Lad os tage en opgave og beregne værdien af to begreber, vi har studeret på én gang. Derudover blev vi distraheret af teori - det er tid til at øve.
Et andet eksempel
Vi kørte 50 forsøg og fik 10 slags resultater - tal fra 0 til 9 - der vises i forskellige procenter. Disse er henholdsvis: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Husk på, at for at få sandsynligheden skal du dividere procentværdierne med 100. Således får vi 0,02; 0, 1 osv. Lad os repræsentere for variansen af en tilfældigværdi og matematisk forventning eksempel på løsning af problemet.
Beregn det aritmetiske middelværdi ved hjælp af den formel, vi husker fra folkeskolen: 50/10=5.
Lad os nu oversætte sandsynligheden til antallet af udfald "i stykker" for at gøre det nemmere at tælle. Vi får 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 og 9. Træk det aritmetiske gennemsnit fra hver opnået værdi, hvorefter vi kvadrerer hvert af de opnåede resultater. Se hvordan du gør dette ved at bruge det første element som eksempel: 1 - 5=(-4). Yderligere: (-4)(-4)=16. For andre værdier skal du udføre disse handlinger selv. Hvis du gjorde alt rigtigt, vil du efter tilføjelse af alle mellemresultaterne få 90.
Fortsæt med at beregne varians og middelværdi ved at dividere 90 med N. Hvorfor vælger vi N og ikke N-1? Det er rigtigt, fordi antallet af udførte eksperimenter overstiger 30. Altså: 90/10=9. Vi fik spredningen. Hvis du får et andet nummer, så fortvivl ikke. Mest sandsynligt lavede du en banal fejl i beregningerne. Dobbelttjek, hvad du har skrevet, og alt vil helt sikkert falde på plads.
Lad os endelig huske forventningsformlen. Vi vil ikke give alle beregningerne, vi vil kun skrive svaret, som du kan kontrollere efter at have gennemført alle de nødvendige procedurer. Forventningen vil være lig med 5, 48. Vi husker kun, hvordan man udfører operationer, ved at bruge eksemplet med de første elementer: 00, 02 + 10, 1… og så videre. Som du kan se, multiplicerer vi simpelthen værdien af resultatet med dets sandsynlighed.
Afvigelse
Et andet koncept, der er tæt forbundet med varians og forventet værdi, erstandardafvigelse. Det er enten angivet med de latinske bogstaver sd eller med det græske små bogstav "sigma". Dette koncept viser, hvordan værdier i gennemsnit afviger fra det centrale træk. For at finde dens værdi skal du beregne kvadratroden af variansen.
Hvis du bygger en graf over en normalfordeling og ønsker at se værdien af standardafvigelsen direkte på den, kan dette gøres i flere trin. Tag halvdelen af billedet til venstre eller højre for tilstanden (central værdi), tegn en vinkelret på den vandrette akse, så områderne af de resulterende figurer er ens. Værdien af segmentet mellem midten af fordelingen og den resulterende projektion på den vandrette akse vil være standardafvigelsen.
Software
Som du kan se fra beskrivelserne af formlerne og de præsenterede eksempler, er beregning af variansen og den matematiske forventning ikke den nemmeste procedure ud fra et aritmetisk synspunkt. For ikke at spilde tid, giver det mening at bruge programmet, der bruges på de videregående uddannelser - det hedder "R". Den har funktioner, der giver dig mulighed for at beregne værdier for mange begreber fra statistik og sandsynlighedsteori.
Du definerer f.eks. en vektor af værdier. Dette gøres som følger: vektor <-c(1, 5, 2…). Nu, når du skal beregne nogle værdier for denne vektor, skriver du en funktion og giver den som et argument. For at finde variansen skal du bruge var. Et eksempel på hendebrug: var(vektor). Så trykker du bare på "enter" og får resultatet.
Afslutningsvis
Varians og matematisk forventning er de grundlæggende begreber i sandsynlighedsteori, uden hvilke det er svært at beregne noget i fremtiden. I hovedforløbet af forelæsninger på universiteter overvejes de allerede i de første måneder af at studere emnet. Det er netop på grund af den manglende forståelse for disse simple begreber og manglende evne til at beregne dem, at mange elever straks begynder at komme bagud i uddannelsen og senere får dårlige karakterer i slutningen af sessionen, hvilket fratager dem stipendier.
Øv mindst en uge i en halv time om dagen, og løs problemer svarende til dem, der præsenteres i denne artikel. Så på enhver sandsynlighedsteoretisk test vil du klare eksempler uden uvedkommende tips og snydeark.
