Ozhegov's Explanatory Dictionary angiver, at en femkant er en geometrisk figur afgrænset af fem krydsende rette linjer, der danner fem indre vinkler, såvel som ethvert objekt med en lignende form. Hvis en given polygon har de samme sider og vinkler, kaldes den en regulær (femkant).
Hvad er interessant ved en almindelig femkant?
Det var i denne form, at den velkendte bygning af det amerikanske forsvarsministerium blev bygget. Af de voluminøse regulære polyedre er det kun dodekaederet, der har femkantede ansigter. Og i naturen er krystaller fuldstændig fraværende, hvis ansigter ville ligne en almindelig femkant. Derudover er denne figur en polygon med et minimum antal hjørner, der ikke kan bruges til at flisebelægge et område. Kun en femkant har det samme antal diagonaler som siderne. Enig, det er interessant!
Grundlæggende egenskaber og formler
Brug af formlerne forvilkårlig regulær polygon, kan du bestemme alle de nødvendige parametre, som femkanten har.
- Centralvinkel α=360 / n=360/5=72°.
- Indre vinkel β=180°(n-2)/n=180°3/5=108°. Som følge heraf er summen af de indre vinkler 540°.
- Forholdet mellem diagonalen og siden er (1+√5) /2, det vil sige det "gyldne snit" (ca. 1.618).
- Længden af siden, som en regulær femkant har, kan beregnes ved hjælp af en af tre formler, afhængigt af hvilken parameter der allerede er kendt:
- hvis en cirkel er omskrevet omkring den, og dens radius R er kendt, så er a=2Rsin (α/2)=2Rsin(72°/2) ≈1, 1756R;
- i det tilfælde, hvor en cirkel med radius r er indskrevet i en regulær femkant, a=2rtg(α/2)=2rtg(α/2) ≈ 1, 453r;
- det sker, at i stedet for radier kendes værdien af diagonalen D, så bestemmes siden som følger: a ≈ D/1, 618.
- Arealet af en regulær femkant bestemmes igen, afhængigt af hvilken parameter vi kender:
- hvis der er en indskrevet eller omskrevet cirkel, så bruges en af to formler:
S=(nar)/2=2, 5ar eller S=(nR2sin α)/2 ≈ 2, 3776R2;
området kan også bestemmes ved kun at kende længden af siden a:
S=(5a2tg54°)/4 ≈ 1, 7205 a2.
Almindelig femkant: konstruktion
Denne geometriske figur kan bygges på forskellige måder. Indskriv det for eksempel i en cirkel med en given radius, eller byg det ud fra en given sideside. Rækkefølgen af handlinger blev beskrevet i Euklids Elementer omkring 300 f. Kr. Under alle omstændigheder har vi brug for et kompas og en lineal. Overvej konstruktionsmetoden ved hjælp af en given cirkel.
1. Vælg en vilkårlig radius, og tegn en cirkel, og marker dens centrum med et O.
2. På cirkellinjen skal du vælge et punkt, der vil tjene som et af hjørnerne i vores femkant. Lad dette være punkt A. Forbind punkt O og A med en lige linje.
3. Tegn en linje gennem punkt O vinkelret på linje OA. Angiv skæringspunktet for denne linje med cirklens linje som punkt B.
4. I midten af afstanden mellem punkt O og B skal du bygge punkt C.
5. Tegn nu en cirkel, hvis centrum vil være i punktet C, og som vil passere gennem punktet A. Stedet for dens skæringspunkt med linjen OB (det vil være inden for den allerførste cirkel) vil være punktet D.
6. Konstruer en cirkel, der går gennem D, hvis centrum vil være i A. Stederne for dens skæringspunkt med den oprindelige cirkel skal markeres med punkterne E og F.
7. Konstruer nu en cirkel, hvis centrum vil være i E. Du skal gøre dette, så den passerer gennem A. Dens anden skæring af den oprindelige cirkel skal angives med punktet G.
8. Til sidst tegnes en cirkel gennem A centreret i punktet F. Marker et andet skæringspunkt for den oprindelige cirkel med punktet H.
9. Nu tilbagebare forbind hjørnerne A, E, G, H, F. Vores regulære femkant vil være klar!
