Matematik stammer fra antikken. Takket være hende gav arkitektur, konstruktion og militærvidenskab en ny udviklingsrunde, de præstationer, der blev opnået ved hjælp af matematik, førte til fremskridtsbevægelsen. Den dag i dag er matematik fortsat den vigtigste videnskab, der findes i alle andre grene.
For at blive uddannet begynder børn fra første klasse gradvist at smelte sammen i dette miljø. Det er meget vigtigt at forstå matematik, da det i en eller anden grad opstår for enhver person gennem hele livet. Denne artikel vil analysere et af nøgleelementerne - at finde og anvende derivater. Ikke alle kan forestille sig, hvor bredt dette koncept bruges. Overvej mere end 10 anvendelser af derivater inden for visse områder eller videnskaber.
Anvendelse af den afledede til studiet af en funktion
Den afledte er sådan en grænseforholdet mellem stigningen af en funktion og stigningen af dens argument, når eksponenten af argumentet har en tendens til nul. Den afledte er en uundværlig ting i studiet af en funktion. For eksempel kan den bruges til at bestemme stigningen og formindskelsen af sidstnævnte, ekstrema, konveksitet og konkavitet. Differentialregning er inkluderet i den obligatoriske læseplan for 1. og 2. års studerende fra matematiske universiteter.
Omfang og funktionsnuller
Den første fase af enhver undersøgelse af grafen begynder med at finde ud af definitionsdomænet, i mere sjældne tilfælde - værdien. Definitionsdomænet er sat langs abscisse-aksen, med andre ord, disse er numeriske værdier på OX-aksen. Ofte er omfanget allerede sat, men hvis det ikke er det, bør værdien af x-argumentet evalueres. Antag, at hvis funktionen for nogle værdier af argumentet ikke giver mening, så er dette argument udelukket fra rækkevidden.
Nuller af funktionen findes på en enkel måde: funktionen f(x) skal lignes med nul, og den resulterende ligning skal løses med hensyn til én variabel x. De opnåede rødder af ligningen er funktionens nuller, dvs. i disse x er funktionen 0.
Forøg og mindsk
Brugen af derivatet til at studere funktioner for monotoni kan overvejes fra to positioner. En monoton funktion er en kategori, der kun har positive værdier af den afledte eller kun negative værdier. Med enkle ord øges eller falder funktionen kun over hele det undersøgte interval:
- Forøg parameter. Fungeref(x) vil stige, hvis den afledede af f`(x) er større end nul.
- Faldende parameter. Funktionen f(x) vil falde, hvis den afledede af f`(x) er mindre end nul.
Tangent og hældning
Anvendelsen af den afledede til studiet af en funktion er også bestemt af tangenten (lige linie rettet i en vinkel) til grafen for funktionen i et givet punkt. Tangent i et punkt (x0) - en linje, der går gennem et punkt og hører til den funktion, hvis koordinater er (x0, f(x) 0 )) og har hældning f`(x0).
y=f(x0) + f`(x0)(x - x0) - ligningen for tangenten til det givne punkt på grafen for funktionen.
Geometrisk betydning af den afledede: den afledede af funktionen f(x) er lig med hældningen af den dannede tangent til grafen for denne funktion i et givet punkt x. Vinkelkoefficienten er på sin side lig med tangenten af hældningsvinklen af tangenten til OX-aksen (abscisse) i positiv retning. Denne konsekvens er grundlæggende for anvendelsen af den afledede på grafen for en funktion.
Ekstreme point
Anvendelse af et derivat til en undersøgelse indebærer at finde høje og lave punkter.
For at finde og bestemme minimums- og maksimumspoint skal du:
- Find den afledede af funktionen f(x).
- Sæt den resulterende ligning til nul.
- Find rødderne til ligningen.
- Find høje og lave punkter.
At finde ekstremerfunktioner:
- Find minimum- og maksimumpoint ved hjælp af metoden ovenfor.
- Sæt disse punkter ind i den oprindelige ligning og beregn ymax og ymin
Maksimumspunktet for funktionen er den største værdi af funktionen f(x) på intervallet, med andre ord xmax.
Minimumspunktet for funktionen er den mindste værdi af funktionen f(x) på intervallet, med andre ord xnavn
Ekstreme punkter er de samme som maksimum- og minimumpunkterne og funktionens ekstremum (ymax. og yminimum) - funktionsværdier, der svarer til ekstremumpunkter.
Konveksitet og konkavitet
Du kan bestemme konveksiteten og konkavitet ved at ty til brugen af den afledede til plotning:
- En funktion f(x), der undersøges i intervallet (a, b), er konkav, hvis funktionen er placeret under alle dens tangenter inden for dette interval.
- Funktionen f(x), der studeres på intervallet (a, b), er konveks, hvis funktionen er placeret over alle dens tangenter inden for dette interval.
Det punkt, der adskiller konveksitet og konkavitet, kaldes funktionens bøjningspunkt.
For at finde bøjningspunkter:
- Find kritiske punkter af anden slags (anden afledte).
- Bøjningspunkter er de kritiske punkter, der adskiller to modsatte tegn.
- Beregn funktionsværdier ved funktionsbøjningspunkter.
Delvise derivater
Ansøgningder er afledte af denne type i problemer, hvor mere end én ukendt variabel bruges. Oftest støder man på sådanne afledte, når man plotter en funktionsgraf, for at være mere præcis, overflader i rummet, hvor der i stedet for to akser er tre, derfor tre størrelser (to variable og en konstant).
Den grundlæggende regel ved beregning af partielle afledte er at vælge én variabel og behandle resten som konstanter. Derfor, når man beregner den partielle afledte, bliver konstanten som om en numerisk værdi (i mange afledte tabeller er de betegnet som C=const). Betydningen af en sådan afledt er ændringshastigheden af funktionen z=f(x, y) langs OX- og OY-akserne, dvs. den karakteriserer stejlheden af fordybningerne og bulerne på den konstruerede overflade.
Afledt i fysik
Brugen af derivatet i fysik er udbredt og vigtig. Fysisk betydning: den afledte af stien med hensyn til tid er hastigheden, og accelerationen er den afledte af hastigheden i forhold til tid. Fra den fysiske betydning kan mange grene trækkes til forskellige grene af fysikken, mens man fuldstændigt bevarer betydningen af den afledte.
Ved hjælp af den afledede findes følgende værdier:
- Hastighed i kinematik, hvor den afledte af den tilbagelagte afstand beregnes. Hvis den anden afledede af stien eller den første afledede af hastigheden findes, så findes kroppens acceleration. Derudover er det muligt at finde den øjeblikkelige hastighed af et materialepunkt, men for dette er det nødvendigt at kende tilvæksten ∆t og ∆r.
- I elektrodynamik:beregning af den øjeblikkelige styrke af vekselstrømmen samt elektromagnetisk induktions EMF. Ved at beregne den afledede kan du finde den maksimale effekt. Den afledte mængde af elektrisk ladning er strømstyrken i lederen.
Afledt i kemi og biologi
Kemi: Afledten bruges til at bestemme hastigheden af en kemisk reaktion. Den kemiske betydning af derivatet: funktion p=p(t), i dette tilfælde er p mængden af et stof, der indgår i en kemisk reaktion i tiden t. ∆t - tidsstigning, ∆p - stigning i stofmængde. Grænsen for forholdet mellem ∆p og ∆t, hvor ∆t har en tendens til nul, kaldes hastigheden af en kemisk reaktion. Gennemsnitsværdien af en kemisk reaktion er forholdet ∆p/∆t. Ved bestemmelse af hastigheden er det nødvendigt at kende nøjagtigt alle de nødvendige parametre, betingelser for at kende den samlede tilstand af stoffet og strømningsmediet. Dette er et ret stort aspekt inden for kemi, som er meget udbredt i forskellige industrier og menneskelige aktiviteter.
Biologi: Begrebet et derivat bruges til at beregne den gennemsnitlige reproduktionshastighed. Biologisk betydning: vi har en funktion y=x(t). ∆t - tidsstigning. Derefter får vi ved hjælp af nogle transformationer funktionen y`=P(t)=x`(t) - den vitale aktivitet af populationen af tiden t (gennemsnitlig reproduktionshastighed). Denne brug af derivatet giver dig mulighed for at føre statistik, spore reproduktionshastigheden og så videre.
Afledt i geografi og økonomi
Afledten giver geografer mulighed for at bestemmeopgaver såsom at finde population, beregne værdier i seismografi, beregning af radioaktivitet af nukleare geofysiske indikatorer, beregning af interpolation.
I økonomi er en vigtig del af beregninger differentialregningen og beregningen af den afledte. Først og fremmest giver dette os mulighed for at bestemme grænserne for de nødvendige økonomiske værdier. For eksempel den højeste og laveste arbejdsproduktivitet, omkostninger, overskud. Grundlæggende er disse værdier beregnet ud fra funktionsgrafer, hvor de finder ekstrema, bestemmer monotoniteten af funktionen i det ønskede område.
Konklusion
Denne differentialregnings rolle er, som nævnt i artiklen, involveret i forskellige videnskabelige strukturer. Brugen af afledte funktioner er et vigtigt element i den praktiske del af videnskab og produktion. Det er ikke for ingenting, at vi i gymnasiet og på universitetet blev lært at bygge komplekse grafer, udforske og arbejde med funktioner. Som du kan se, uden derivater og differentialberegninger, ville det være umuligt at beregne vitale indikatorer og mængder. Menneskeheden har lært at modellere forskellige processer og udforske dem for at løse komplekse matematiske problemer. Faktisk er matematik dronningen af alle videnskaber, fordi denne videnskab ligger til grund for alle andre naturlige og tekniske discipliner.
