Den afledte af cosinus findes i analogi med den afledede af sinus, grundlaget for beviset er definitionen af funktionens grænse. Du kan bruge en anden metode ved at bruge de trigonometriske reduktionsformler for vinklernes cosinus og sinus. Udtryk en funktion i form af en anden - cosinus i form af sinus, og differentier sinus med et komplekst argument.
Betragt det første eksempel på at udlede formlen (Cos(x))'
Giv en ubetydelig lille stigning Δx til argumentet x for funktionen y=Cos(x). Med en ny værdi af argumentet х+Δх får vi en ny værdi af funktionen Cos(х+Δх). Så vil funktionstilvæksten Δy være lig med Cos(х+Δx)-Cos(x).
Forholdet mellem funktionstilvæksten og Δх vil være: (Cos(х+Δx)-Cos(x)) /Δх. Lad os udføre identiske transformationer i tælleren for den resulterende brøk. Genkald formlen for forskellen i vinklernes cosinus, resultatet vil være produktet -2Sin (Δx / 2) gange Sin (x + Δx / 2). Vi finder grænsen for kvotienten lim af dette produkt på Δx, da Δx har en tendens til nul. Det er kendt, at den første(det kaldes vidunderligt) grænsen lim(Sin(Δx/2)/(Δx/2)) er lig med 1, og grænsen -Sin(x+Δx/2) er lig med -Sin(x) som Δx har en tendens til nul. Skriv resultatet ned: den afledte af (Cos(x))' er lig med - Sin(x).
Nogle mennesker foretrækker den anden måde at udlede den samme formel
Det kendes fra trigonometriens forløb: Cos(x) er lig med Sin(0, 5 µ-x), på samme måde er Sin(x) lig med Cos(0, 5 µ-x). Derefter differentierer vi en kompleks funktion - sinus for den ekstra vinkel (i stedet for cosinus x).
Vi får produktet Cos(0, 5 ∏-x) (0, 5 ∏-x)', fordi den afledede af sinus x er lig med cosinus X. Vi vender os til den anden formel Sin(x)=Cos(0,5 µ-x) for at erstatte cosinus med sinus under hensyntagen til at (0,5 µ-x)'=-1. Nu får vi -Sin(x). Så den afledede af cosinus findes, y'=-Sin(x) for funktionen y=Cos(x).
Squared cosinus-derivat
Et almindeligt anvendt eksempel, hvor cosinus-derivatet bruges. Funktionen y=Cos2(x) er svær. Vi finder først potensfunktionens differentiale med eksponent 2, det bliver 2·Cos(x), derefter gange vi det med den afledede (Cos(x))', som er lig med -Sin(x). Vi får y'=-2 Cos(x) Sin(x). Når vi anvender formlen Sin(2x), sinus af en dobbelt vinkel, får vi den endelige forenkledesvar y'=-Sin(2x)
Hyperboliske funktioner
De bruges i studiet af mange tekniske discipliner: i matematik, for eksempel, letter de beregningen af integraler, løsningen af differentialligninger. De udtrykkes i form af trigonometriske funktioner med imaginæreargument, så den hyperbolske cosinus ch(x)=Cos(i x), hvor i er den imaginære enhed, den hyperbolske sinus sh(x)=Sin(i x).
Den afledte af den hyperbolske cosinus beregnes ganske enkelt.
Betragt funktionen y=(ex+e-x) /2, dette og er den hyperbolske cosinus ch(x). Vi bruger reglen til at finde den afledede af summen af to udtryk, reglen for at tage den konstante faktor (Const) ud af fortegnet for den afledte. Det andet led 0,5 e-x er en kompleks funktion (den afledede er -0,5 e-x), 0,5 eх - den første periode. (ch(x)) '=((ex+e-x)/2)' kan skrives på en anden måde: (0, 5 ex+0, 5 e-x)'=0, 5 e x-0, 5 e-x, fordi den afledte (e - x)' er lig med -1 gange e-x. Resultatet er en forskel, og dette er den hyperbolske sinus sh(x).Output: (ch(x))'=sh(x).
Lad os se på et eksempel på, hvordan man beregn den afledede af funktionen y=ch(x
3+1).Ifølge den hyperbolske cosinusdifferentieringsregel med komplekst argument y'=sh(x
3+1) (x 3+1)', hvor (x3+1)'=3 x 2+0. Svar: den afledede af denne funktion er 3 x
2sh(x3+1).
Tabelafledte funktioner af de betragtede funktioner y=ch(x) og y=Cos(x)
Når du løser eksempler, er det ikke nødvendigt at differentiere dem hver gang i henhold til det foreslåede skema, det er nok at bruge slutningen.
Eksempel. Differentier funktionen y=Cos(x)+Cos2(-x)-Ch(5 x). Nem at beregne (brug tabeldata), y'=-Sin(x) +Sin(2 x)-5 Sh(5 x).
