Emnet "aritmetisk progression" studeres i det almindelige algebraforløb i skoler i 9. klasse. Dette emne er vigtigt for yderligere dybdegående studier af matematikken i talserier. I denne artikel vil vi stifte bekendtskab med den aritmetiske progression, dens forskel, samt med typiske opgaver, som skolebørn kan stå over for.
Begrebet algebraisk progression
Numerisk progression er en sekvens af tal, hvor hvert efterfølgende element kan hentes fra det foregående, hvis der anvendes en matematisk lov. Der er to simple typer progression: geometrisk og aritmetisk, som også kaldes algebraisk. Lad os dvæle ved det mere detaljeret.
Lad os forestille os et rationelt tal, betegne det med symbolet a1, hvor indekset angiver dets ordenstal i den betragtede serie. Lad os føje et andet tal til et1 , lad os betegne det d. Så den andenet element i en serie kan afspejles som følger: a2=a1+d. Tilføj nu d igen, vi får: a3=a2+d. Hvis du fortsætter denne matematiske operation, kan du få en hel række tal, som vil blive kaldt en aritmetisk progression.
Som det kan forstås af ovenstående, skal du for at finde det n-te element i denne sekvens bruge formlen: a =a1+ (n -1)d. Hvis n=1 indsættes i udtrykket, får vi faktisk a1=a1, hvis n=2, så indebærer formlen: a2=a1 + 1d, og så videre.
For eksempel, hvis forskellen på en aritmetisk progression er 5, og a1=1, betyder det, at talrækken af den pågældende type ser ud som: 1, 6, 11, 16, 21, … Som du kan se, er hver af dens termer 5 større end den foregående.
Formler for forskellen i aritmetisk progression
Af ovenstående definition af den betragtede række af tal, følger det, at for at bestemme den, skal du kende to tal: a1 og d. Sidstnævnte kaldes forskellen på denne progression. Det bestemmer entydigt opførselen af hele serien. Faktisk, hvis d er positiv, så vil talrækken konstant stige, tværtimod, i tilfælde af negativ d, vil tallene i rækken kun stige modulo, mens deres absolutte værdi vil falde med stigende antal n.
Hvad er forskellen på den aritmetiske progression? Overvej de to hovedformler, der bruges til at beregne denne værdi:
- d=an+1-a , denne formel følger direkte af definitionen af den pågældende talserie.
- d=(-a1+a)/(n-1), dette udtryk opnås ved at udtrykke d fra den givne formel i artiklens foregående afsnit. Bemærk, at dette udtryk bliver ubestemt (0/0), hvis n=1. Dette skyldes det faktum, at det er nødvendigt at kende mindst 2 elementer i serien for at bestemme dens forskel.
Disse to grundlæggende formler bruges til at løse ethvert problem med at finde progressionsforskellen. Der er dog en anden formel, som du også skal kende til.
Sum af første elementer
Formlen, der kan bruges til at bestemme summen af et hvilket som helst antal medlemmer af en algebraisk progression, ifølge historiske beviser, blev først opnået af matematikkens "prins" i det 18. århundrede, Carl Gauss. En tysk videnskabsmand bemærkede, mens han stadig var en dreng i folkeskolen i en landsbyskole, at for at tilføje naturlige tal i serien fra 1 til 100, skal du først summere det første element og det sidste (den resulterende værdi vil være lig med til summen af det næstsidste og andet, næstsidste og tredje element, og så videre), og så skal dette tal ganges med antallet af disse beløb, det vil sige med 50.
Formlen, der afspejler det angivne resultat på et bestemt eksempel, kan generaliseres til et vilkårligt tilfælde. Det vil se sådan ud: S =n/2(a +a1). Bemærk, at for at finde den angivne værdi, kræves der ikke kendskab til forskellen d,hvis to led i forløbet er kendt (a og a1).
Eksempel 1. Bestem forskellen ved at kende de to led i rækken a1 og an
Lad os vise, hvordan man anvender formlerne nævnt ovenfor i artiklen. Lad os give et simpelt eksempel: forskellen på den aritmetiske progression er ukendt, det er nødvendigt at bestemme, hvad den vil være lig, hvis a13=-5, 6 og a1 =-12, 1.
Da vi kender værdierne af to elementer i den numeriske rækkefølge, og et af dem er det første tal, kan vi bruge formel nr. 2 til at bestemme forskellen d. Vi har: d=(-1(-12, 1)+(-5, 6))/12=0. 54167. I udtrykket brugte vi værdien n=13, da medlemmet med dette løbenummer er kendt.
Den resulterende forskel indikerer, at progressionen er stigende, på trods af at de elementer, der er angivet i problemets tilstand, har en negativ værdi. Det kan ses, at a13>a1, selvom |a13|<|a 1 |.
Eksempel 2. Positive medlemmer af progressionen i eksempel 1
Lad os bruge resultatet opnået i det foregående eksempel til at løse et nyt problem. Det er formuleret som følger: Fra hvilket sekvensnummer begynder elementerne i progressionen i eksempel 1 at tage positive værdier?
Som vist er progressionen, hvor a1=-12, 1 og d=0. 54167 stigende, så fra et eller andet tal begynder tallene kun at være positive værdier. For at bestemme dette tal n skal man løse en simpel ulighed, som ermatematisk skrevet som følger: a >0 eller, ved hjælp af den passende formel, omskriver vi uligheden: a1 + (n-1)d>0. Det er nødvendigt at finde det ukendte n, lad os udtrykke det: n>-1a1/d + 1. Nu er det tilbage at erstatte de kendte værdier af forskellen og det første medlem af sekvensen. Vi får: n>-1(-12, 1) /0, 54167 + 1=23, 338 eller n>23, 338. Da n kun kan tage heltalsværdier, følger det af den resulterende ulighed, at alle medlemmer af serien, der vil har et tal større end 23 vil være positivt.
Tjek dit svar ved at bruge ovenstående formel til at beregne det 23. og 24. element i denne aritmetiske progression. Vi har: a23=-12, 1 + 220, 54167=-0, 18326 (negativt tal); a24=-12, 1 + 230. 54167=0, 3584 (positiv værdi). Det opnåede resultat er således korrekt: fra n=24 vil alle medlemmer af talrækken være større end nul.
Eksempel 3. Hvor mange logfiler er der plads til?
Lad os give et mærkeligt problem: Under skovning blev det besluttet at stable savede træstammer oven på hinanden som vist i figuren nedenfor. Hvor mange logfiler kan stables på denne måde, vel vidende at 10 rækker vil passe i alt?
På denne måde at stable logfiler på, kan du bemærke en interessant ting: hver efterfølgende række vil indeholde en log mindre end den foregående, det vil sige, at der er en algebraisk progression, hvis forskel er d=1. Forudsat at antallet af logfiler i hver række er et medlem af denne progression,og også givet, at a1=1 (kun én log vil passe helt øverst), finder vi tallet a10. Vi har: a10=1 + 1(10-1)=10. Det vil sige, i den 10. række, som ligger på jorden, vil der være 10 kævler.
Den samlede mængde af denne "pyramideformede" konstruktion kan opnås ved hjælp af Gauss-formlen. Vi får: S10=10/2(10+1)=55 logfiler.
