Cylinderdefinition. Formel for volumen. Løsning af problemet med en messingcylinder

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sidst ændret: 2023-12-17 05:21

Rumlig geometri, hvis forløb studeres i klasse 10-11 på skolen, overvejer egenskaberne ved tredimensionelle figurer. Artiklen giver en geometrisk definition af en cylinder, giver en formel til beregning af dens volumen og løser også et fysisk problem, hvor det er vigtigt at kende dette volumen.

Hvad er en cylinder?

Ud fra et stereometris synspunkt kan definitionen af en cylinder gives som følger: Det er en figur dannet som et resultat af en parallel forskydning af et lige segment langs en bestemt flad lukket kurve. Det navngivne segment må ikke tilhøre samme plan som kurven. Hvis kurven er en cirkel, og segmentet er vinkelret på det, kaldes cylinderen dannet på den beskrevne måde lige og rund. Det er vist på billedet nedenfor.

Det er ikke svært at gætte, at denne form kan opnås ved at dreje et rektangel rundt om enhver af dets sider.

Cylinderen har to identiske baser, som er cirkler, og en sidecylindrisk overflade. Basens cirkel kaldes direkte, og det vinkelrette segment, der forbinder cirklerne af forskellige baser, er figurens generator.

Hvordan finder man volumen af en rund lige cylinder?

Når vi er blevet bekendt med definitionen af en cylinder, lad os overveje, hvilke parametre du skal kende for matematisk at beskrive dens karakteristika.

Afstanden mellem de to baser er højden af figuren. Det er indlysende, at det er lig med længden af generatoratrixen. Vi vil betegne højden med det latinske bogstav h. Cirklens radius ved bunden er angivet med bogstavet r. Det kaldes også cylinderens radius. De to introducerede parametre er nok til entydigt at beskrive alle egenskaberne for den pågældende figur.

Givet den geometriske definition af en cylinder, kan dens volumen beregnes ved hjælp af følgende formel:

V=Sh

Her er S arealet af basen. Bemærk, at for enhver cylinder og for ethvert prisme er den skrevne formel gyldig. Ikke desto mindre, for en rund lige cylinder, er det ret praktisk at bruge det, da højden er en generatrice, og arealet S af basen kan bestemmes ved at huske formlen for arealet af en cirkel:

S=pir²

Dermed vil arbejdsformlen for den pågældende figurs bind V blive skrevet som:

V=pir²h

Opdrift

Alle elever ved, at hvis en genstand nedsænkes i vand, vil dens vægt blive mindre. Årsagen til dette faktumer fremkomsten af en flydende eller arkimedisk kraft. Det virker på enhver krop, uanset deres form og materiale, som de er lavet af. Styrken af Archimedes kan bestemmes ved formlen:

F_A=ρ_lgV_l

Her er ρ_l og V_l væskens massefylde og dens volumen forskudt af kroppen. Det er vigtigt ikke at forveksle dette volumen med kroppens volumen. De vil kun matche, hvis kroppen er helt nedsænket i væsken. For enhver delvis nedsænkning er V_l altid mindre end V i kroppen.

Den flydekraft F_A kaldes, fordi den er rettet lodret opad, dvs. den er modsat i retning af tyngdekraften. Forskellige retninger af kraftvektorerne fører til, at kroppens vægt i enhver væske er mindre end i luft. Retfærdigvis bemærker vi, at i luften påvirkes alle kroppe også af en flydende kraft, men den er ubetydelig sammenlignet med den arkimedeiske kraft i vand (800 gange mindre).

Forskellen i vægten af legemer i væske og i luft bruges til at bestemme massefylden af faste og flydende stoffer. Denne metode kaldes hydrostatisk vejning. Ifølge legenden blev den først brugt af Arkimedes til at bestemme densiteten af det metal, som kronen var lavet af.

Brug ovenstående formel til at bestemme den opdriftskraft, der virker på en messingcylinder.

Problemet med at beregne Arkimedes-kraften, der virker på en messingcylinder

Det er kendt, at en messingcylinder har en højde på 20 cm og en diameter på 10 cm. Hvad bliver den arkimediske kraft,som vil begynde at virke på ham, hvis cylinderen kastes i destilleret vand.

For at bestemme opdriftskraften på en messingcylinder skal du først og fremmest se på tætheden af messing i tabellen. Det er lig med 8600 kg/m³ (dette er gennemsnitsværdien af dens massefylde). Da denne værdi er større end densiteten af vand (1000 kg/m³), vil objektet synke.

For at bestemme Archimedes-kraften er det nok at finde cylinderens volumen og derefter bruge ovenstående formel for F_A. Vi har:

V=pir²h=3, 145²20=1570 cm ³

Vi har erstattet radiusværdien på 5 cm i formlen, da den er to gange mindre end den givne i diameterproblemets tilstand.

For opdriftskraften får vi:

F_A=ρ_lgV=10009, 81157010^-6 =15, 4 H

Her har vi konverteret bind V til m³.

En opadgående kraft på 15,4 N vil således virke på en messingcylinder med kendte dimensioner, nedsænket i vand.