At finde determinanten for en matrix er en vigtig handling, ikke kun for lineær algebra: for eksempel i økonomi, ved hjælp af denne beregning, løses systemer af lineære ligninger med mange ukendte, som er meget brugt i økonomiske problemer.
Determinant koncept
Determinanten eller determinanten af en matrix er en værdi lig med volumenet af et parallelepipedum bygget på dets række- eller kolonnevektorer. Denne værdi kan kun beregnes for en kvadratisk matrix, som har det samme antal rækker og kolonner. Hvis medlemmerne af matricen er tal, vil determinanten også være et tal.
Beregning af determinanter
Det skal huskes, at der er flere regler, der i høj grad kan lette sådanne beregninger.
Så determinanten af en matrix bestående af et element er lig med dets eneste element. Det er ikke svært at beregne andenordens determinant, for dette er det nok at trække produktet af elementerne placeret på den sekundære diagonal fra produktet af medlemmerne af hoveddiagonalen.
Beregning af 3. ordens determinant er nemmest at udføreefter trekantsreglen. For at gøre dette skal du udføre følgende handlinger:
- Find produktet af tre medlemmer af matrixen placeret på dens vigtigste
- Multipér med tre led placeret på trekanter, hvis basis er parallelle med hoveddiagonalen.
- Gentag den første og anden handling for den sekundære diagonal.
- Find summen af alle værdierne opnået i de foregående beregninger, mens tallene opnået i tredje afsnit er taget med et minustegn.
diagonaler.
For nemt at finde determinanten for en matrix af 4. orden, såvel som højere dimensioner, er det nødvendigt at overveje de egenskaber, som alle determinanter har:
- Værdien af determinanten ændres ikke efter matrixtransponering.
- Ændring af positionerne af to tilstødende rækker eller kolonner fører til en ændring i determinantens fortegn.
- Hvis matricen har to lige store rækker eller kolonner, eller alle elementer i kolonnen (rækken) er nul, så er dens determinant lig med nul.
- Multiplikation af tallene i en matrix med et hvilket som helst tal fører til en stigning i dens determinant med det samme antal gange.
Brug af ovenstående egenskaber hjælper med nemt at finde determinanten for en matrix af enhver rækkefølge. For eksempel ved at bruge ordensreduktionsmetoden til dette, hvor determinanten udvides med elementerne i rækken (kolonnen) ganget med det algebraiske komplement.
En anden måde, der gør det meget nemmere at finde determinanten
matrix er at bringe den til en trekantet form, når alle elementer under hoveddiagonalen er lig med nul. I dette tilfælde beregnes matrixdeterminanten som produktet af tallene placeret på denne diagonal.
Og til sidst vil jeg gerne bemærke, at beregningen af determinanter, selvom den består af tilsyneladende simple matematiske beregninger, dog kræver betydelig omhu og vedholdenhed.
