Ganske ofte er der inden for matematisk videnskab en række vanskeligheder og spørgsmål, og mange af svarene er ikke altid klare. Ingen undtagelse var et emne som kardinalitet af sæt. Faktisk er dette ikke andet end et numerisk udtryk for antallet af objekter. I en generel forstand er et sæt et aksiom; det har ingen definition. Det er baseret på alle objekter, eller rettere deres sæt, som kan være tomme, endelige eller uendelige. Derudover indeholder den heltal eller naturlige tal, matricer, sekvenser, segmenter og linjer.
Om eksisterende variabler
En null eller tom mængde uden egen værdi betragtes som et kardinalelement, fordi det er en delmængde. Samlingen af alle delmængder af et ikke-tomt sæt S er et sæt sæt. Således anses magtsættet for et givet sæt for at være mange, tænkelige, men enkeltstående. Dette sæt kaldes mængden af potenser af S og er betegnet med P (S). Hvis S indeholder N elementer, så indeholder P(S) 2^n delmængder, da en delmængde af P(S) enten er ∅ eller en delmængde indeholdende r elementer fra S, r=1, 2, 3, … Sammensat af alt uendeligtsæt M kaldes en potensmængde og er symbolsk betegnet med P (M).
Elementer af mængdeteori
Dette vidensfelt blev udviklet af George Cantor (1845-1918). I dag bruges det i næsten alle grene af matematikken og fungerer som dens grundlæggende del. I mængdeteori er elementer repræsenteret i form af en liste og er givet ved typer (tom mængde, singleton, finite og uendelige mængder, lige og ækvivalente, universelle), forening, skæringspunkt, differens og addition af tal. I hverdagen taler vi ofte om en samling af genstande såsom et nøgleknippe, en flok fugle, en pakke kort osv. I matematik klasse 5 og frem er der naturlige tal, heltal, primtal og sammensatte tal.
Følgende sæt kan overvejes:
- naturlige tal;
- bogstaver i alfabetet;
- primære odds;
- trekanter med forskellige sider.
Det kan ses, at disse specificerede eksempler er veldefinerede sæt af objekter. Overvej et par flere eksempler:
- fem mest berømte videnskabsmænd i verden;
- syv smukke piger i samfundet;
- tre bedste kirurger.
Disse kardinalitetseksempler er ikke veldefinerede samlinger af objekter, fordi kriterierne for "mest kendt", "smukkest", "bedst" varierer fra person til person.
Sæt
Denne værdi er et veldefineret antal forskellige objekter. Forudsat at:
- ordsæt er et synonym, aggregat, klasse og indeholder elementer;
- objekter, medlemmer er lige vilkår;
- sæt er norm alt angivet med store bogstaver A, B, C;
- sæt-elementer er repræsenteret med små bogstaver a, b, c.
Hvis "a" er et element i mængden A, så siges det, at "a" hører til A. Lad os betegne sætningen "hører til" med det græske tegn "∈" (epsilon). Det viser sig således, at a ∈ A. Hvis 'b' er et element, der ikke hører til A, er dette repræsenteret som b ∉ A. Nogle vigtige mængder, der bruges i 5. klasses matematik, er repræsenteret ved hjælp af de tre følgende metoder:
- applikationer;
- registreringer eller tabel;
- regel for oprettelse af en formation.
Ved nærmere undersøgelse er ansøgningsskemaet baseret på følgende. I dette tilfælde gives en klar beskrivelse af sættets elementer. De er alle omsluttet af krøllede seler. For eksempel:
- sæt af ulige tal mindre end 7 - skrevet som {mindre end 7};
- et sæt tal større end 30 og mindre end 55;
- antal elever i en klasse, der vejer mere end læreren.
I registreringsdatabasen (tabel)-formularen er elementerne i et sæt angivet inden for et par parenteser {} og adskilt med kommaer. For eksempel:
- Lad N angive mængden af de første fem naturlige tal. Derfor er N=→ registreringsformular
- Sæt af alle vokaler i det engelske alfabet. Derfor V={a, e, i, o, u, y} → registreringsformular
- Mættet af alle ulige tal er mindre end 9. Derfor er X={1, 3, 5, 7} → formregistreringsdatabasen
- Sæt af alle bogstaver i ordet "Matematik". Derfor er Z={M, A, T, H, E, I, C, S} → Registreringsformular
- W er sættet af årets sidste fire måneder. Derfor W={september, oktober, november, december} → registreringsdatabasen.
Bemærk, at rækkefølgen, som elementerne er opført i, ikke betyder noget, men de må ikke gentages. En etableret form for konstruktion, i et givet tilfælde, en regel, formel eller operator er skrevet i et par parenteser, så sættet er korrekt defineret. I sætbyggerformularen skal alle elementer have den samme egenskab for at blive medlem af den pågældende værdi.
I denne form for sætrepræsentation er et element i sættet beskrevet med tegnet "x" eller en hvilken som helst anden variabel efterfulgt af et kolon (":" eller "|" bruges til at angive). Lad f.eks. P være mængden af tællelige tal større end 12. P i sæt-bygger-formen skrives som - {tælleligt tal og større end 12}. Det vil læse på en bestemt måde. Det vil sige, "P er et sæt af x elementer, således at x kan tælles og er større end 12."
Løst eksempel ved hjælp af tre sæt repræsentationsmetoder: antal heltal mellem -2 og 3. Nedenfor er eksempler på forskellige typer sæt:
- Et tomt eller nulsæt, der ikke indeholder noget element og er angivet med symbolet ∅ og læses som phi. I listeform skrives ∅ {}. Den endelige mængde er tom, da antallet af elementer er 0. For eksempel er sættet af heltalsværdier mindre end 0.
- Der burde selvfølgelig ikke være <0. Derfor er dettetomt sæt.
- Et sæt, der kun indeholder én variabel, kaldes et singleton-sæt. Er hverken enkel eller sammensat.
Endeligt sæt
En mængde, der indeholder et vist antal elementer, kaldes en endelig eller uendelig mængde. Tom refererer til den første. For eksempel et sæt af alle farverne i regnbuen.
Infinity er et sæt. Elementerne i den kan ikke opregnes. Det vil sige, at indeholde lignende variable kaldes et uendeligt sæt. Eksempler:
- effekt af sættet af alle punkter i flyet;
- sæt af alle primtal.
Men du bør forstå, at alle kardinaliteter ved foreningen af et sæt ikke kan udtrykkes i form af en liste. For eksempel reelle tal, da deres elementer ikke svarer til noget bestemt mønster.
Kardinalnummeret for et sæt er antallet af forskellige elementer i en given mængde A. Det betegnes n (A).
For eksempel:
- A {x: x ∈ N, x <5}. A={1, 2, 3, 4}. Derfor er n (A)=4.
- B=sæt bogstaver i ordet ALGEBRA.
Tilsvarende sæt til sammenligning af sæt
To kardinaliteter af en mængde A og B er sådanne, hvis deres kardinalnummer er det samme. Symbolet for det tilsvarende sæt er "↔". For eksempel: A ↔ B.
Lige sæt: to kardinaliteter af sæt A og B, hvis de indeholder de samme elementer. Hver koefficient fra A er en variabel fra B, og hver af B er den specificerede værdi af A. Derfor er A=B. De forskellige typer kardinalitetsforeninger og deres definitioner forklares ved hjælp af de angivne eksempler.
Væsen af endelighed og uendelighed
Hvad er forskellene mellem kardinaliteten af en finit mængde og en uendelig mængde?
Den første værdi har følgende navn, hvis den enten er tom eller har et begrænset antal elementer. I et endeligt sæt kan en variabel specificeres, hvis den har et begrænset antal. For eksempel ved at bruge det naturlige tal 1, 2, 3. Og listeprocessen ender ved nogle N. Antallet af forskellige elementer, der tælles i den endelige mængde S, er angivet med n (S). Det kaldes også orden eller kardinal. Symbolsk angivet efter standardprincippet. Således, hvis sættet S er det russiske alfabet, så indeholder det 33 elementer. Det er også vigtigt at huske, at et element ikke forekommer mere end én gang i et sæt.
Uendelig i sættet
En mængde kaldes uendelig, hvis elementerne ikke kan optælles. Hvis det har et ubegrænset (det vil sige utalligt) naturligt tal 1, 2, 3, 4 for enhver n. En mængde, der ikke er endelig, kaldes uendelig. Vi kan nu diskutere eksempler på de numeriske værdier, der overvejes. Indstillinger for slutværdi:
- Lad Q={naturlige tal mindre end 25}. Så er Q en endelig mængde, og n (P)=24.
- Lad R={heltal mellem 5 og 45}. Så er R en endelig mængde, og n (R)=38.
- Lad S={numbers modulo 9}. Så S={-9, 9} er en endelig mængde og n (S)=2.
- Sæt med alle mennesker.
- Antal af alle fugle.
Uendelige eksempler:
- antal eksisterende punkter på flyet;
- antal af alle punkter i linjestykket;
- sættet af positive heltal deleligt med 3 er uendeligt;
- alle hele og naturlige tal.
Ud fra ovenstående ræsonnement er det således klart, hvordan man skelner mellem endelige og uendelige mængder.
Power of the continuum set
Hvis vi sammenligner sættet og andre eksisterende værdier, så er der knyttet en tilføjelse til sættet. Hvis ξ er universel, og A er en delmængde af ξ, så er komplementet af A antallet af alle elementer af ξ, der ikke er elementer af A. Symbolsk er komplementet af A med hensyn til ξ A'. For eksempel er 2, 4, 5, 6 de eneste elementer i ξ, der ikke hører til A. Derfor er A'={2, 4, 5, 6}
Et sæt med kardinalitetskontinuum har følgende funktioner:
- komplement af den universelle mængde er den pågældende tomme værdi;
- denne nulsætvariabel er universel;
- beløb og dets komplement er usammenhængende.
For eksempel:
- Lad antallet af naturlige tal være en universel mængde og A være lige. Så er A '{x: x et ulige sæt med de samme cifre}.
- Lad ξ=sæt bogstaver i alfabetet. A=sæt af konsonanter. Derefter A '=antal vokaler.
- Supplementet til det universelle sæt er den tomme mængde. Kan betegnes med ξ. Så er ξ '=Sættet af de elementer, der ikke er inkluderet i ξ. Den tomme mængde φ skrives og angives. Derfor ξ=φ. Derfor er komplementet til det universelle sæt tomt.
I matematik bruges "kontinuum" nogle gange til at repræsentere en reel linje. Og mere generelt, for at beskrive lignende objekter:
- kontinuum (i mængdeteori) - reel linje eller tilsvarende kardin altal;
- lineær - ethvert ordnet sæt, der deler bestemte egenskaber af en rigtig linje;
- continuum (i topologi) - ikke-tomt kompakt tilsluttet metrisk rum (nogle gange Hausdorff);
- hypotesen om, at ingen uendelige mængder er større end heltal, men mindre end reelle tal;
- potensen af kontinuummet er et kardin altal, der repræsenterer størrelsen af sættet af reelle tal.
I bund og grund et kontinuum (måling), teorier eller modeller, der forklarer gradvise overgange fra en tilstand til en anden uden nogen pludselig ændring.
Problemer med forening og vejkryds
Det er kendt, at skæringspunktet mellem to eller flere sæt er det tal, der indeholder alle de elementer, der er fælles i disse værdier. Ordopgaver på mængder løses for at få grundlæggende ideer til, hvordan man kan bruge forenings- og skæringsegenskaberne for mængder. Løste de vigtigste problemer med ord påsæt ser sådan ud:
Lad A og B være to endelige mængder. De er sådan, at n (A)=20, n (B)=28 og n (A ∪ B)=36, find n (A ∩ B)
Relation i sæt ved hjælp af Venn-diagram:
- Foreningen af to sæt kan repræsenteres af et skraveret område, der repræsenterer A ∪ B. A ∪ B, når A og B er usammenhængende sæt.
- Skæringspunktet mellem to sæt kan repræsenteres af et Venn-diagram. Med skraveret område, der repræsenterer A ∩ B.
- Forskellen mellem de to sæt kan repræsenteres af Venn-diagrammer. Med et skraveret område, der repræsenterer A - B.
- Forholdet mellem tre sæt ved hjælp af et Venn-diagram. Hvis ξ repræsenterer en universel størrelse, så er A, B, C tre delmængder. Her overlapper alle tre sæt.
Opsummering af sætoplysninger
Kardinalitet af et sæt er defineret som det samlede antal individuelle elementer i sættet. Og den sidst angivne værdi beskrives som antallet af alle delmængder. Når man studerer sådanne spørgsmål, kræves metoder, metoder og løsninger. Så for et sæts kardinalitet kan følgende eksempler tjene som:
Lad A={0, 1, 2, 3}| |=4, hvor | A | repræsenterer kardinalitet af sæt A.
Nu kan du finde din strømpakke. Det er også ret simpelt. Som allerede nævnt er effektsættet sat fra alle delmængder af et givet tal. Så man bør grundlæggende definere alle variabler, elementer og andre værdier af A,som er {}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {1, 2}, {1, 3}, { 2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, {0, 1, 2, 3}.
Now power figure out P={{}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, { 1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, { 0, 1, 2, 3}} som har 16 elementer. Således er kardinalitet af mængden A=16. Det er klart, at dette er en kedelig og besværlig metode til at løse dette problem. Der er dog en simpel formel, hvormed du direkte kan kende antallet af elementer i potensmængden af et givet tal. | P |=2 ^ N, hvor N er antallet af elementer i nogle A. Denne formel kan opnås ved hjælp af simpel kombinatorik. Så spørgsmålet er 2^11, da antallet af elementer i sæt A er 11.
Så et sæt er enhver numerisk udtrykt mængde, som kan være et hvilket som helst muligt objekt. For eksempel biler, mennesker, numre. I en matematisk forstand er dette begreb bredere og mere generaliseret. Hvis tallene og mulighederne for deres løsning er sorteret fra i de indledende faser, så er betingelserne og opgaverne komplicerede i de mellemste og højere stadier. Faktisk er kardinaliteten af foreningen af et sæt bestemt af objektets tilhørsforhold til enhver gruppe. Det vil sige, at et element tilhører en klasse, men har en eller flere variabler.
