Hvad er variabler? Variabel i matematik

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sidst ændret: 2024-01-02 17:43

Betydningen af variabler i matematik er stor, for i løbet af dens eksistens lykkedes det forskerne at gøre mange opdagelser på dette område, og for kort og tydeligt at angive denne eller hin sætning, bruger vi variable til at skrive de tilsvarende formler. For eksempel Pythagoras sætning om en retvinklet trekant: a² =b² + c^{2. Sådan skriver du hver gang, når du løser et problem: ifølge Pythagoras sætning er kvadratet af hypotenusen lig med summen af kvadraterne på benene - vi skriver dette ned med en formel, og alt bliver straks klart.}

Så denne artikel vil diskutere, hvad variabler er, deres typer og egenskaber. Forskellige matematiske udtryk vil også blive overvejet: uligheder, formler, systemer og algoritmer til deres løsning.

Variabelt koncept

For det første, hvad er en variabel? Dette er en numerisk værdi, der kan antage mange værdier. Det kan ikke være konstant, da vi i forskellige problemer og ligninger for nemheds skyld tager løsninger somvariable forskellige tal, det vil sige, at z for eksempel er en generel betegnelse for hver af de mængder, den er taget for. Norm alt er de angivet med bogstaver i det latinske eller græske alfabet (x, y, a, b og så videre).

Der er forskellige slags variabler. De sætter både nogle fysiske størrelser - sti (S), tid (t) og simpelthen ukendte værdier i ligninger, funktioner og andre udtryk.

Der er f.eks. en formel: S=Vt. Her angiver variablerne bestemte størrelser relateret til den virkelige verden - stien, hastigheden og tiden.

Og der er en ligning af formen: 3x - 16=12x. Her er x allerede taget som et abstrakt tal, der giver mening i denne notation.

Mængdetyper

Mængde betyder noget, der udtrykker egenskaberne ved en bestemt genstand, et bestemt stof eller et fænomen. For eksempel lufttemperatur, vægt af et dyr, procentdel af vitaminer i en tablet - det er alle mængder, hvis numeriske værdier kan beregnes.

Hver størrelse har sine egne måleenheder, som tilsammen danner et system. Det kaldes talsystemet (SI).

Hvad er variabler og konstanter? Overvej dem med specifikke eksempler.

Lad os tage retlinede ensartede bevægelser. Et punkt i rummet bevæger sig med samme hastighed hver gang. Det vil sige tid og afstand ændrer sig, men hastigheden forbliver den samme. I dette eksempel er tid og afstand variable, og hastigheden er konstant.

Eller for eksempel "pi". Dette er et irrationelt tal, der fortsætter uden at gentagesen sekvens af cifre og kan ikke skrives fuldt ud, så i matematik er det udtrykt ved et almindeligt accepteret symbol, der kun tager værdien af en given uendelig brøk. Det vil sige, "pi" er en konstant værdi.

Historie

Historien om notationen af variable begynder i det syttende århundrede med videnskabsmanden René Descartes.

Han udpegede de kendte værdier med de første bogstaver i alfabetet: a, b og så videre, og for det ukendte foreslog han at bruge de sidste bogstaver: x, y, z. Det er bemærkelsesværdigt, at Descartes anså sådanne variable for at være ikke-negative tal, og når han stod over for negative parametre, satte han et minustegn foran variablen eller, hvis det ikke var kendt, hvilket tegn tallet var, en ellipse. Men med tiden begyndte navnene på variabler at angive tal for et hvilket som helst tegn, og det begyndte med matematikeren Johann Hudde.

Med variabler er beregninger i matematik nemmere at løse, for hvordan løser vi for eksempel biquadratiske ligninger nu? Vi indtaster en variabel. For eksempel:

x⁴ + 15x^{2 + 7=0}

For x2 tager vi nogle k, og ligningen bliver klar:

x2=k, for k ≧ 0

k2 + 15k + 7=0

Det er, hvad indførelsen af variabler bringer til matematik.

Uligheder, eksempler på løsninger

En ulighed er en post, hvor to matematiske udtryk eller to tal er forbundet med sammenligningstegn:, ≦, ≧. De er strenge og er angivet med tegn eller ikke-strenge med tegn ≦, ≧.

For første gang blev disse tegn introduceretThomas Harriot. Efter Thomas' død udkom hans bog med disse notationer, matematikere kunne lide dem, og med tiden blev de meget brugt i matematiske beregninger.

Der er flere regler, der skal følges, når man løser uligheder med enkelte variable:

Når du overfører et tal fra en del af uligheden til en anden, skal du ændre dets fortegn til det modsatte.
Når man multiplicerer eller dividerer dele af en ulighed med et negativt tal, vendes deres fortegn.
Hvis du multiplicerer eller dividerer begge sider af uligheden med et positivt tal, får du en ulighed lig med den oprindelige.

At løse en ulighed betyder at finde alle gyldige værdier for en variabel.

eksempel med enkelt variabel:

10x - 50 > 150

Vi løser det som en normal lineær ligning - vi flytter led med en variabel til venstre, uden en variabel - til højre og giver lignende udtryk:

10x > 200

Vi dividerer begge sider af uligheden med 10 og får:

x > 20

For klarhedens skyld, i eksemplet med løsning af en ulighed med en variabel, tegn en tallinje, marker det gennemborede punkt 20 på den, da uligheden er streng, og dette tal ikke er inkluderet i sættet af dets løsninger.

Løsningen på denne ulighed er intervallet (20; +∞).

Løsning af en ikke-streng ulighed udføres på samme måde som en streng:

6x - 12 ≧ 18

6x ≧ 30

x ≧ 5

Men der er én undtagelse. En post med formen x ≧ 5 skal forstås som følger: x er større end eller lig med fem, hvilket betydertallet fem indgår i mængden af alle løsninger til uligheden, det vil sige, når vi skriver svaret, sætter vi en firkantet parentes foran tallet fem.

x ∈ [5; +∞)

Kvadratiske uligheder

Hvis vi tager en andengradsligning af formen ax2 + bx +c=0 og ændrer lighedstegnet til ulighedstegnet i den, så vil vi følgelig opnå en kvadratisk ulighed.

For at løse en andengradsulighed skal du være i stand til at løse andengradsligninger.

y=ax2 + bx + c er en kvadratisk funktion. Vi kan løse det ved at bruge diskriminanten eller ved at bruge Vieta-sætningen. Husk, hvordan disse ligninger løses:

1) y=x2 + 12x + 11 - funktionen er en parabel. Dens grene er rettet opad, da tegnet for koefficienten "a" er positivt.

2) x2 + 12x + 11=0 - lig med nul og løs ved hjælp af diskriminanten.

a=1, b=12, c=11

D=b2 - 4ac=144 - 44=100 > 0, 2 rødder

Ifølge formlen for rødderne af andengradsligningen får vi:

x₁ =-1, x_2=-11

Eller du kan løse denne ligning ved hjælp af Vieta-sætningen:

x₁ + x₂ =-b/a, x₁ + x _2=-12

x₁x₂ =c/a, x₁x₂₌₁₁

Ved at bruge udvælgelsesmetoden opnår vi de samme rødder af ligningen.

Parabola

Så den første måde at løse en kvadratisk ulighed på er en parabel. Algoritmen til at løse det er som følger:

1. Bestem, hvor grenene af parablen er rettet.

2. Sæt lighedstegn mellem funktionen og nul, og find ligningens rødder.

3. Vi bygger en tallinje, markerer rødderne på den, tegner en parabel og finder det hul, vi skal bruge, afhængigt af tegnet på uligheden.

Løs uligheden x2 + x - 12 > 0

Skriv som en funktion:

1) y=x2 + x - 12 - parabel, forgrener sig.

Indstil til nul.

2) x2 + x -12=0

Dernæst løser vi som en andengradsligning og finder funktionens nuller:

x₁ =3, x_2=-4

3) Tegn en tallinje med punkterne 3 og -4 på. Parablen vil passere gennem dem, forgrene sig, og svaret på uligheden vil være et sæt positive værdier, det vil sige (-∞; -4), (3; +∞).

Intervalmetode

Den anden måde er afstandsmetoden. Algoritme til at løse det:

1. Find rødderne af den ligning, for hvilken uligheden er lig nul.

2. Vi markerer dem på tallinjen. Den er således opdelt i flere intervaller.

3. Bestem tegnet for ethvert interval.

4. Vi placerer skilte med de resterende intervaller og ændrer dem efter et.

Løs uligheden (x - 4)(x - 5)(x + 7) ≦ 0

1) Ulighedsnuller: 4, 5 og -7.

2) Tegn dem på tallinjen.

3) Bestem tegnene for intervaller.

Svar: (-∞; -7]; [4; 5].

Løs endnu en ulighed: x2(3x - 6)(x + 2)(x - 1) > 0

1. Ulighedsnuller: 0, 2, -2 og 1.

2. Marker dem på tallinjen.

3. Bestem interv altegn.

Linjen er opdelt i intervaller - fra -2 til 0, fra 0 til 1, fra 1 til 2.

Tag værdien på det første interval - (-1). Stedfortræder i ulighed. Med denne værdi bliver uligheden positiv, hvilket betyder, at tegnet på dette interval vil være +.

Yderligere, startende fra det første mellemrum, arrangerer vi skiltene og ændrer dem efter et.

Uligheden er større end nul, det vil sige, du skal finde et sæt positive værdier på linjen.

Svar: (-2; 0), (1; 2).

Ligningssystemer

Et ligningssystem med to variable er to ligninger forbundet med en krøllet bøjle, som det er nødvendigt at finde en fælles løsning til.

Systemer kan være ækvivalente, hvis den generelle løsning af den ene af dem er løsningen af den anden, eller begge af dem ikke har nogen løsninger.

Vi vil studere løsningen af ligningssystemer med to variable. Der er to måder at løse dem på - substitutionsmetoden eller den algebraiske metode.

Algebraisk metode

For at løse systemet vist på billedet ved hjælp af denne metode, skal du først gange en af dets dele med et sådant tal, så du senere gensidigt kan annullere én variabel fra begge dele af ligningen. Her ganger vi med tre, tegner en streg under systemet og lægger dets dele sammen. Som et resultat bliver x'er identiske i modul, men modsatte i fortegn, og vi reducerer dem. Dernæst får vi en lineær ligning med én variabel og løser den.

Vi fandt Y, men vi kan ikke stoppe der, for vi har ikke fundet X endnu. ErstatningY til den del, hvorfra det vil være praktisk at trække X tilbage, for eksempel:

-x + 5y=8, med y=1

-x + 5=8

Løs den resulterende ligning, og find x.

-x=-5 + 8

-x=3

x=-3

Det vigtigste i løsningen af systemet er at skrive svaret rigtigt ned. Mange elever begår den fejl at skrive:

Svar: -3, 1.

Men dette er en forkert indtastning. Når alt kommer til alt, som allerede nævnt ovenfor, leder vi efter en generel løsning for dets dele, når vi løser et ligningssystem. Det rigtige svar ville være:

(-3; 1)