Sandsynligvis er begrebet afledt bekendt for hver enkelt af os siden skolen. Norm alt har eleverne svært ved at forstå denne, uden tvivl, meget vigtige ting. Det bruges aktivt i forskellige områder af folks liv, og mange tekniske udviklinger var baseret netop på matematiske beregninger opnået ved hjælp af den afledede. Men før vi går videre til analysen af, hvad afledte tal er, hvordan man beregner dem, og hvor de er nyttige for os, lad os kaste os ud i historien.
Historie
Begrebet afledet, som er grundlaget for matematisk analyse, blev opdaget (det ville være bedre at sige "opfundet", fordi det ikke eksisterede i naturen som sådan) af Isaac Newton, som vi alle kender fra opdagelsen af loven om universel gravitation. Det var ham, der først anvendte dette koncept i fysik for at forbinde arten af kroppes hastighed og acceleration. Og mange videnskabsmænd roser stadig Newton for denne storslåede opfindelse, fordi han faktisk opfandt grundlaget for differential- og integralregning, faktisk grundlaget for et helt område af matematik kaldet "calculus". Hvis på det tidspunkt Nobelprisen, ville Newton have modtaget den med stor sandsynlighed flere gange.
Ikke uden andre gode hjerner. Undtagen Newtonsådanne eminente matematiske genier som Leonhard Euler, Louis Lagrange og Gottfried Leibniz arbejdede på udviklingen af derivatet og integralet. Det er takket være dem, at vi har modtaget teorien om differentialregning i den form, som den eksisterer i den dag i dag. Det var i øvrigt Leibniz, der opdagede den afledede geometriske betydning, som viste sig at være intet andet end tangenten af hældningen af tangenten til funktionens graf.
Hvad er afledte tal? Lad os gentage lidt, hvad vi gik igennem i skolen.
Hvad er et derivat?
Dette koncept kan defineres på flere forskellige måder. Den enkleste forklaring er, at den afledede er funktionens ændringshastighed. Forestil dig en graf for en eller anden funktion y af x. Hvis det ikke er lige, så har det nogle kurver i grafen, perioder med stigning og fald. Hvis vi tager et uendeligt lille interval af denne graf, vil det være et lige linjestykke. Så forholdet mellem størrelsen af dette uendeligt lille segment langs y-koordinaten og størrelsen langs x-koordinaten vil være den afledede af denne funktion på et givet punkt. Hvis vi betragter funktionen som en helhed og ikke på et bestemt punkt, så får vi en afledt funktion, det vil sige en vis afhængighed af y af x.
Udover den fysiske betydning af den afledede som ændringshastigheden af en funktion, er der også en geometrisk betydning. Vi vil tale om ham nu.
Geometrisk sans
De afledte tal repræsenterer i sig selv et bestemt tal, som uden ordentlig forståelse ikke bæreringen pointe. Det viser sig, at den afledte ikke kun viser funktionens vækst eller fald, men også tangenten af hældningen af tangenten til funktionens graf i et givet punkt. Ikke en særlig klar definition. Lad os analysere det mere detaljeret. Lad os sige, at vi har en graf over en funktion (for interesse, lad os tage en kurve). Den har et uendeligt antal point, men der er områder, hvor kun ét enkelt punkt har et maksimum eller minimum. Gennem ethvert sådant punkt er det muligt at tegne en linje, der ville være vinkelret på grafen for funktionen på det punkt. En sådan linje vil blive kaldt en tangent. Lad os sige, at vi brugte det til skæringspunktet med OX-aksen. Så vinklen opnået mellem tangenten og OX-aksen vil blive bestemt af den afledede. Mere præcist vil tangenten af denne vinkel være lig med den.
Lad os tale lidt om særlige tilfælde og analysere afledte tal.
Særtilfælde
Som vi allerede har sagt, er afledte tal værdierne af den afledede på et bestemt punkt. Lad os f.eks. tage funktionen y=x2. Den afledte x er et tal, og i det generelle tilfælde en funktion lig med 2x. Hvis vi skal beregne den afledte, f.eks. ved punktet x0=1, får vi y'(1)=21=2. Alt er meget enkelt. Et interessant tilfælde er den afledte af et komplekst tal. Vi vil ikke gå ind i en detaljeret forklaring på, hvad et komplekst tal er. Lad os bare sige, at dette er et tal, der indeholder den såkaldte imaginære enhed – et tal, hvis kvadrat er -1. Beregningen af et sådant derivat er kun mulig, hvis følgendebetingelser:
1) Der skal være førsteordens partielle afledninger af de reelle og imaginære dele med hensyn til Y og X.
2) Cauchy-Riemann-betingelserne forbundet med ligheden af partielle derivater beskrevet i første afsnit er opfyldt.
En anden interessant sag, selvom den ikke er så kompliceret som den forrige, er den afledte af et negativt tal. Faktisk kan ethvert negativt tal repræsenteres som et positivt tal ganget med -1. Nå, den afledede af konstanten og funktionen er lig med konstanten ganget med den afledede af funktionen.
Det bliver interessant at lære om derivatets rolle i hverdagen, og det er det, vi vil diskutere nu.
Application
Sandsynligvis fanger hver af os mindst én gang i sit liv sig selv i at tro, at matematik næppe vil være nyttigt for ham. Og sådan en kompliceret ting som et derivat har sandsynligvis ingen anvendelse overhovedet. Faktisk er matematik en grundlæggende videnskab, og alle dens frugter er primært udviklet af fysik, kemi, astronomi og endda økonomi. Den afledte var begyndelsen på matematisk analyse, som gav os evnen til at drage konklusioner ud fra graferne for funktioner, og vi lærte at fortolke naturlovene og vende dem til vores fordel takket være det.
Konklusion
Det er selvfølgelig ikke alle, der har brug for et derivat i det virkelige liv. Men matematik udvikler logik, hvilket helt sikkert vil være nødvendigt. Det er ikke for ingenting, at matematik kaldes videnskabernes dronning: den danner grundlaget for at forstå andre vidensområder.
