Den lige linje er det vigtigste geometriske objekt på planet og i tredimensionelt rum. Det er ud fra lige linjer, at mange figurer bygges, for eksempel: et parallelogram, en trekant, et prisme, en pyramide og så videre. Overvej i artiklen forskellige måder at sætte linjers ligninger på.
Definition af en ret linje og ligningstyper til at beskrive den
Hver elev har en god idé om, hvilket geometrisk objekt de taler om. En ret linje kan repræsenteres som en samling af punkter, og hvis vi forbinder hver af dem på skift med alle de andre, får vi et sæt parallelle vektorer. Med andre ord er det muligt at komme til hvert punkt på linjen fra et af dets faste punkter ved at overføre det til en enhedsvektor ganget med et reelt tal. Denne definition af en ret linje bruges til at definere en vektorlighed for dens matematiske beskrivelse både i planet og i tredimensionelt rum.
En ret linje kan matematisk repræsenteres af følgende ligningstyper:
- general;
- vektor;
- parametrisk;
- i segmenter;
- symmetrisk (kanonisk).
Dernæst vil vi overveje alle de navngivne typer og vise, hvordan man arbejder med dem ved hjælp af eksempler på løsning af problemer.
Vektor og parametrisk beskrivelse af en lige linje
Lad os starte med at definere en lige linje gennem en kendt vektor. Antag, at der er et fast punkt i rummet M(x0; y0; z0). Det er kendt, at den rette linje passerer gennem den og er rettet langs vektorsegmentet v¯(a; b; c). Hvordan finder man et vilkårligt punkt på linjen ud fra disse data? Svaret på dette spørgsmål vil give følgende lighed:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c)
Hvor λ er et vilkårligt tal.
Et lignende udtryk kan skrives for det todimensionelle tilfælde, hvor koordinaterne for vektorer og punkter er repræsenteret af et sæt af to tal:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b)
De skrevne ligninger kaldes vektorligninger, og selve det rettede segment v¯ er retningsvektoren for den rette linje.
Fra de skrevne udtryk opnås de tilsvarende parametriske ligninger ganske enkelt, det er nok at omskrive dem eksplicit. For eksempel for tilfældet i rummet får vi følgende ligning:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb;
z=z0+ λc
Det er praktisk at arbejde med parametriske ligninger, hvis du skal analysere adfærdenhver koordinat. Bemærk, at selvom parameteren λ kan have vilkårlige værdier, skal den være den samme i alle tre ligheder.
Generel ligning
En anden måde at definere en ret linje på, som ofte bruges til at arbejde med det betragtede geometriske objekt, er at bruge en generel ligning. For det todimensionelle tilfælde ser det sådan ud:
Ax + By + C=0
Her repræsenterer store latinske bogstaver specifikke numeriske værdier. Bekvemmeligheden ved denne lighed til at løse problemer ligger i, at den eksplicit indeholder en vektor, der er vinkelret på en ret linje. Hvis vi betegner det med n¯, så kan vi skrive:
n¯=[A; B]
Derudover er udtrykket praktisk at bruge til at bestemme afstanden fra en lige linje til et punkt P(x1; y1). Formlen for afstand d er:
d=|Ax1+ By1+ C| / √(A2+ B2)
Det er let at vise, at hvis vi udtrykkeligt udtrykker variablen y fra den generelle ligning, får vi følgende velkendte form for at skrive en ret linje:
y=kx + b
Hvor k og b er entydigt bestemt af tallene A, B, C.
Ligningen i segmenter og kanonisk
Ligningen i segmenter er nemmest at få fra den generelle visning. Vi viser dig, hvordan du gør det.
Antag, at vi har følgende linje:
Ax + By + C=0
Flyt det frie led til højre side af ligheden, divider derefter hele ligningen med det, vi får:
Ax + By=-C;
x / (-C / A) + y / (-C / B)=1;
x / q + y / p=1, hvor q=-C / A, p=-C / B
Vi fik den såkaldte ligning i segmenter. Det fik sit navn på grund af det faktum, at nævneren, som hver variabel er divideret med, viser værdien af koordinaten for skæringspunktet mellem linjen med den tilsvarende akse. Det er praktisk at bruge dette faktum til at afbilde en ret linje i et koordinatsystem, samt til at analysere dens relative position i forhold til andre geometriske objekter (lige linjer, punkter).
Lad os nu gå videre til at opnå den kanoniske ligning. Dette er lettere at gøre, hvis vi overvejer den parametriske mulighed. Til etuiet på flyet har vi:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb
Vi udtrykker parameteren λ i hver lighed, så sætter vi lighedstegn mellem dem, får vi:
λ=(x - x0) / a;
λ=(y - y0) / b;
(x - x0) / a=(y - y0) / b
Dette er den ønskede ligning skrevet i symmetrisk form. Ligesom et vektorudtryk indeholder det eksplicit koordinaterne for retningsvektoren og koordinaterne for et af punkterne, der hører til linjen.
Det kan ses, at vi i dette afsnit har givet ligninger for det todimensionale tilfælde. På samme måde kan du skrive ligningen for en ret linje i rummet. Det skal her bemærkes, at hvis den kanoniske formposter og udtryk i segmenter vil have samme form, så er den generelle ligning i rummet for en ret linje repræsenteret af et system af to ligninger for skærende planer.
Problemet med at konstruere ligningen for en ret linje
Fra geometri ved enhver elev, at man gennem to punkter kan tegne en enkelt linje. Antag, at følgende punkter er givet i koordinatplanet:
M1(1; 2);
M2(-1; 3)
Det er nødvendigt at finde ligningen for den linje, som begge punkter tilhører, i segmenter, i vektor, kanonisk og generel form.
Lad os først få vektorligningen. For at gøre dette skal du definere for den direkte retningsvektor M1M2¯:
M1M2¯=(-1; 3) - (1; 2)=(-2; 1)
Nu kan du oprette en vektorligning ved at tage et af de to punkter, der er angivet i problemformuleringen, for eksempel M2:
(x; y)=(-1; 3) + λ(-2; 1)
For at få den kanoniske ligning er det nok at transformere den fundne lighed til en parametrisk form og udelukke parameteren λ. Vi har:
x=-1 - 2λ, derfor λ=x + 1 / (-2);
y=3 + λ, så får vi λ=y - 3;
x + 1 / (-2)=(y - 3) / 1
De resterende to ligninger (generel og i segmenter) kan findes fra den kanoniske ved at transformere den som følger:
x + 1=-2y + 6;
generel ligning: x + 2y - 5=0;
i segmenter ligning: x / 5 + y / 2, 5=1
De resulterende ligninger viser, at vektoren (1; 2) skal være vinkelret på linjen. Faktisk, hvis du finder dets skalære produkt med retningsvektoren, vil det være lig med nul. Linjesegmentligningen siger, at linjen skærer x-aksen ved (5; 0) og y-aksen ved (2, 5; 0).
Problemet med at bestemme skæringspunktet for linjer
To rette linjer er givet på planet med følgende ligninger:
2x + y -1=0;
(x; y)=(0; -1) + λ(-1; 3)
Det er nødvendigt at bestemme koordinaterne for det punkt, hvor disse linjer skærer hinanden.
Der er to måder at løse problemet på:
- Omdan vektorligningen til en generel form, og løs derefter systemet med to lineære ligninger.
- Udfør ingen transformationer, men indsæt blot koordinaten for skæringspunktet, udtrykt gennem parameteren λ, i den første ligning. Find derefter parameterværdien.
Lad os gøre den anden vej. Vi har:
x=-λ;
y=-1 + 3λ;
2(-λ) + (-1) + 3λ - 1=0;
λ=2
Sæt det resulterende tal ind i vektorligningen:
(x; y)=(0; -1) + 2(-1; 3)=(-2; 5)
Det eneste punkt, der hører til begge linjer, er således punktet med koordinater (-2; 5). Linjerne skærer hinanden i den.
