Paradokset i teorien om offentligt valg blev først beskrevet af Marquis Condorcet i 1785, som med succes blev generaliseret i 50'erne af forrige århundrede af den amerikanske økonom K. Arrow. Arrows sætning besvarer et meget simpelt spørgsmål inden for kollektiv beslutningsteori. Lad os sige, at der er flere valgmuligheder inden for politik, offentlige projekter eller indkomstfordeling, og der er mennesker, hvis præferencer bestemmer disse valg.
Spørgsmålet er, hvilke procedurer der findes for kvalitativt at bestemme valg. Og hvordan man lærer om præferencer, om den kollektive eller sociale ordning af alternativer, fra bedst til værst. Arrows svar på dette spørgsmål overraskede mange.
Arrows teorem siger, at der slet ikke er sådanne procedurer - under alle omstændigheder svarer de ikke til visse og ganske rimelige præferencer hos mennesker. Arrows tekniske ramme, hvori han gav en klar mening til problemet med social kontrahering, og hans stringente svar er nu meget brugt til at studere problemer inden for socialøkonomi. Selve sætningen dannede grundlaget for moderne offentlig valgteori.
Public Choice Theory
Arrows teorem viser, at hvis vælgerne har mindst tre alternativer, så er der ikke noget valgsystem, der kan omdanne valget af individer til offentlig mening.
Den chokerende udtalelse kom fra økonomen og nobelpristageren Kenneth Joseph Arrow, som demonstrerede dette paradoks i sin ph.d.-afhandling og populariserede det i sin bog fra 1951 Social Choice and Individual Values. Titlen på den originale artikel er "Difficulties in the Social Security Concept".
Arrows sætning siger, at det er umuligt at designe et valgsystem med en orden, der altid ville opfylde retfærdige kriterier:
- Når en vælger vælger alternativet X frem for Y, så vil vælgerfællesskabet foretrække X frem for Y. Hvis valgene for hver af vælgerne X og Y forbliver uændrede, så vil valget af samfund X og Y være det samme, selvom vælgerne vælger andre par af X og Z, Y og Z eller Z og W.
- Der er ingen "valgt diktator", fordi én vælger ikke kan påvirke valget af en gruppe.
- Eksisterende valgsystemer dækker ikke de påkrævede krav, da de giver flere oplysninger end rangorden.
Statens sociale ledelsessystemer
Selvom den amerikanske økonom Kenneth Arrow modtog Nobelprisen i økonomi, var værket mere brugbart for udviklingen af samfundsvidenskaberne, eftersom Arrows "Impossibility Theorem" markerede begyndelsen på en helt ny retning inden for økonomi - sociale valg. Denne industri forsøger matematisk at analysere vedtagelsen af fælles beslutninger, især inden for offentlige sociale ledelsessystemer.
Valg er demokrati i aktion. Folk går til stemmeurnerne og giver udtryk for deres præferencer, og i sidste ende skal mange menneskers præferencer samles for at træffe en fælles beslutning. Derfor er valget af stemmemetode meget vigtig. Men er der virkelig en perfekt stemme? Ifølge resultaterne af Arrows teori, opnået i 1950, er svaret nej. Hvis "ideal" betyder en foretrukken stemmemetode, der opfylder kriterierne defineret af rimelige afstemningsmetoder.
Den foretrukne afstemningsmetode er rangordning, hvor vælgerne bedømmer alle kandidater efter deres præferencer, og baseret på disse vurderinger er resultatet: endnu en liste over alle kandidater, der skal indsendes af folkets fælles vilje. Ifølge Arrow's Impossibility Theorem kan en rimelig stemmemetode specificeres:
- Ingen diktatorer (ND) - resultatet behøver ikke altid at matche vurderingen af en bestemt person.
- Pareto Efficiency (PE) - hvis hver vælger foretrækker kandidat A frem for kandidat B, skal resultatet angivekandidat A over kandidat B.
- Independence of Incompatible Alternatives (IIA) er den relative score for kandidaterne A, B og bør ikke ændres, hvis vælgerne ændrer scoren for andre kandidater, men ikke ændrer deres relative score for A og B.
Ifølge Arrows sætning viser det sig, at i tilfælde af valg med tre eller flere kriterier, er der ingen sociale valgfunktioner, der samtidig ville være egnede til ND, PE og IIA.
Rationelt udvælgelsessystem
Behovet for præferenceaggregering viser sig på mange områder af menneskelivet:
- Velfærdsøkonomi bruger mikroøkonomiske metoder til at måle velfærd på det samlede økonomiske niveau. En typisk metode starter med at udlede eller udlede en velfærdsfunktion, som derefter kan bruges til at rangordne økonomisk forsvarlige allokeringer af ressourcer i form af velfærd. I dette tilfælde forsøger stater at finde et økonomisk levedygtigt og bæredygtigt resultat.
- I beslutningsteori, når en person skal træffe et rationelt valg baseret på flere kriterier.
- I valgsystemer, som er mekanismer til at finde en enkelt løsning ud fra mange vælgeres præferencer.
Under betingelserne i Arrows sætning skelnes rækkefølgen af præferencer for et givet sæt af parametre (resultater). Hver enhed i samfundet eller hvert beslutningskriterium tildeler en bestemt præferencerækkefølge med hensyn til et sæt af resultater. Samfundet leder efter et systemrangordningsbaseret afstemning, kaldet velfærdsfunktionen.
Denne præferenceaggregeringsregel omdanner et præferenceprofilsæt til én global offentlig orden. Arrows udtalelse fastslår, at hvis et styrende organ har mindst to vælgere og tre udvælgelseskriterier, er det umuligt at skabe en velfærdsfunktion, der vil opfylde alle disse betingelser på én gang.
For hvert sæt individuelle vælgerpræferencer skal velfærdsfunktionen udføre en unik og omfattende offentlig udvælgelsesvurdering:
- Dette skal gøres på en sådan måde, at resultatet er en fuldstændig vurdering af publikums præferencer.
- Bør deterministisk give den samme score, når vælgernes præferencer ser ud til at være de samme.
Uafhængighed fra irrelevante alternativer (IIA)
Valget mellem X og Y hænger udelukkende sammen med individets præferencer mellem X og Y - dette er uafhængighed i par (parvis uafhængighed), ifølge Arrows "Impossibility of Democracy"-sætning. Samtidig påvirker en ændring i en persons vurdering af irrelevante alternativer placeret uden for sådanne grupper ikke den sociale vurdering af denne delmængde. For eksempel har indsendelse af en tredje kandidat ved et to-kandidatvalg ingen effekt på valgets udfald, medmindre den tredje kandidat vinder.
Samfundet er præget af monotoni og en positiv kombination af sociale og individuelle værdier. Hvis en person ændrer deres præferencerækkefølge ved at promovere en bestemt mulighed, så rækkefølgensamfundets præferencer bør svare til den samme mulighed uden ændringer. En person bør ikke være i stand til at skade en option ved at prissætte den højere.
I umulighedssætningen er effektivitet og retfærdighed i samfundet sikret gennem borgerens suverænitet. Enhver mulig social præferencerækkefølge skal være opnåelig med et sæt individuelle præferenceordrer. Det betyder, at velfærdsfunktionen er surjektiv – den har en ubegrænset målplads. En senere (1963) version af Arrows teorem erstattede monotoniteten og ikke-overlappende kriterier.
Pareto. Effektivitet eller enstemmighed?
Hvis hver person foretrækker en bestemt mulighed frem for en anden, så bør rækkefølgen af sociale præferencer også gøre det. Det er væsentligt, at velfærdsfunktionen er minim alt følsom over for præferenceprofilen. Denne senere version er mere generel og har noget svagere betingelser. Aksiomerne for ensartethed, ingen overlapning, sammen med IIA, betegner Pareto-effektivitet. Samtidig indebærer det ikke IIA-overlapning og indebærer ikke monotonitet.
IIA har tre formål:
- Standard. Irrelevante alternativer burde være ligegyldige.
- Praktisk. Brug af minimal information.
- Strategisk. At give de rigtige incitamenter til virkelig at identificere individuelle præferencer. Selvom strategiske mål er begrebsmæssigt forskellige fra IIA, er de tæt beslægtede.
Pareto-effektivitet, opkaldt efter den italienske økonom og politolog Vilfredo Pareto (1848-1923), bruges i neoklassisk økonomi sammen med det teoretiske koncept om perfekt konkurrence som et benchmark til at evaluere effektiviteten af virkelige markeder. Det skal bemærkes, at ingen af resultaterne opnås uden for økonomisk teori. Hypotetisk, hvis perfekt konkurrence eksisterede, og ressourcer blev brugt så effektivt som muligt, ville alle have den højeste levestandard eller Pareto-effektivitet.
I praksis er det umuligt at tage nogen social handling, såsom en ændring af den økonomiske politik, uden at forværre situationen for mindst én person, så konceptet med Pareto-forbedring har fundet bredere anvendelse i økonomi. En Pareto-forbedring opstår, når en ændring i distributionen ikke skader nogen og hjælper mindst én person, givet den indledende distribution af varer til en gruppe mennesker. Teorien antyder, at Pareto-forbedringer vil fortsætte med at tilføje værdi til økonomien, indtil en Pareto-ligevægt er nået, hvor der ikke kan foretages flere forbedringer.
Formel sætning af sætningen
Lad A være resultatsættet, N antallet af vælgere eller beslutningskriterier. Angiv sættet af alle komplette lineære rækkefølger fra A til L (A). Den strenge socialsikringsfunktion (præferencesammenlægningsreglen) er en funktion, der aggregerer vælgernes præferencer i en engangsrækkefølge pr. A.
N - en tuple (R 1, …, R N) ∈ L (A) N af vælgernes præferencer kaldes en præferenceprofil. I sin stærkeste og enkleste form siger Arrows umulighedssætning, at når sættet af mulige alternativer A har mere end 2 elementer, bliver de følgende tre betingelser inkonsistente:
- Enstemmighed eller svag Pareto-effektivitet. Hvis alternativ A rangerer strengt over B for alle ordrer R 1, …, R N, så rangerer A strengt over B på F (R 1, R 2, …, R N). Samtidig indebærer enstemmighed fravær af pålæggelse.
- Ikke-diktatur. Der er ikke noget individuelt "jeg", hvis strenge præferencer altid er fremherskende. Det vil sige, at der ikke er nogen I ∈ {1, …, N }, som for alle (R 1, …, R N) ∈ L (A) N, rangerer strengt taget højere end B fra R. "I" rangerer strengt taget højere end B over F (R 1, R 2, …, R N), for alle A og B.
- Uafhængighed af irrelevante alternativer. For to præferenceprofiler (R 1, …, R N) og (S 1, …, S N), således at for alle individer I har alternativ A og B den samme rækkefølge i R i som i Si, alternativ A og B har samme rækkefølge i F (R 1, R 2, …, R N) som i F (S 1, S2, …, S N).
Fortolkning af sætningen
Selvom Impossibility-sætningen er matematisk bevist, udtrykkes den ofte på en ikke-matematisk måde med udsagnet om, at ingen stemmemetode er retfærdig, enhver rangeret stemmemetode har mangler, eller at den eneste stemmemetode, der ikke er forkert, er et diktatur. Disse udsagn er en forenklingArrows resultat, som ikke altid anses for at være korrekt. Arrows teorem siger, at en deterministisk præferenceafstemningsmekanisme, dvs. en mekanisme, hvor præferencerækkefølgen er den eneste information ved afstemningen, og ethvert muligt sæt af stemmer giver et unikt resultat, ikke kan opfylde alle ovenstående betingelser på samme tid.
Forskellige teoretikere har foreslået at slække på IIA-kriteriet som en vej ud af paradokset. Tilhængere af ratingmetoder hævder, at IIA er et unødvendigt stærkt kriterium, der overtrædes i de fleste nyttige valgsystemer. Tilhængere af denne holdning påpeger, at manglende opfyldelse af standard IIA-kriteriet er trivielt underforstået af muligheden for cykliske præferencer. Hvis vælgerne stemmer sådan her:
- 1 stemme for A> B> C;
- 1 stemme på B> C> A;
- 1 stemme for C> A> B.
Så fordobler flertallet gruppepræferencen, at A slår B, B slår C og C slår A, og dette resulterer i en saks-klippe-saks-præference for enhver parsammenligning.
I dette tilfælde vil enhver aggregeringsregel, der opfylder det grundlæggende flertalskrav om, at kandidaten med flest stemmer skal vinde valget, ikke opfylde IIA-kriteriet, hvis sociale præferencer skal være transitive eller acykliske. For at se dette antages det, at en sådan regel opfylder IIA. Da flertallets præferencerbliver observeret, favoriserer samfundet A - B (to stemmer for A> B og en for B> A), B - C og C - A. Der skabes således en cyklus, der modsiger antagelsen om, at sociale præferencer er transitive.
Så, Arrows teorem viser faktisk, at ethvert valgsystem med flest sejre er et ikke-trivielt spil, og at spilteorien bør bruges til at forudsige resultatet af de fleste afstemningsmekanismer. Dette kan ses som et nedslående resultat, fordi spillet ikke burde have en effektiv ligevægt, for eksempel kan afstemning føre til et alternativ, som ingen rigtig ønskede, men alle stemte på.
Soci alt valg i stedet for præference
Rationelt kollektivt valg af stemmemekanisme ifølge Arrows sætning er ikke målet for social beslutningstagning. Ofte er det nok at finde et alternativ. Den alternative valgfokuserede tilgang udforsker enten sociale valgfunktioner, der kortlægger hver præferenceprofil, eller sociale valgregler, funktioner, der kortlægger hver præferenceprofil til en undergruppe af alternativer.
Med hensyn til sociale valgfunktioner er Gibbard-Satterthwaite-sætningen velkendt, som siger, at hvis en social valgfunktion, hvis rækkevidde indeholder mindst tre alternativer, er strategisk stabil, så er den diktatorisk. I betragtning af reglerne for soci alt valg mener de, at sociale præferencer står bag dem.
Det vil sige, de betragter reglen som et valgmaksimale elementer - de bedste alternativer til enhver social præference. Sættet af maksimale sociale præferenceelementer kaldes kernen. Betingelserne for eksistensen af et alternativ i kernen blev undersøgt i to tilgange. Den første tilgang antager, at præferencer i det mindste er acykliske, hvilket er nødvendigt og tilstrækkeligt til, at præferencer har et maksim alt element i enhver endelig delmængde.
Af denne grund er det tæt forbundet med afslappende transitivitet. Den anden tilgang dropper antagelsen om acykliske præferencer. Kumabe og Mihara antog denne tilgang. De gjorde den mere konsekvente antagelse, at individuelle præferencer betyder mest.
Relativ risikoaversion
Der er flere indikatorer for risikoaversion udtrykt ved hjælp af hjælpefunktionen i Arrow Pratts sætning. Absolut risikoaversion - jo højere krumning u(c), jo højere risikoaversion. Men da de forventede nyttefunktioner ikke er entydigt definerede, forbliver det nødvendige mål konstant med hensyn til disse transformationer. Et sådant mål er Arrow-Pratt-målet for absolut risikoaversion (ARA), efter at økonomerne Kenneth Arrow og John W. Pratt har defineret det absolutte risikoaversionsforhold som
A (c)=- {u '' (c)}/ {u '(c)}, hvor: u '(c) og u '' (c) angiver den første og anden afledte med hensyn til "c" af "u (c)".
Eksperimentelle og empiriske data er generelt i overensstemmelse med et fald i absolut risikoaversion. relative målArrow Pratt Risk Aversion (ACR) eller Relative Risk Aversion Ratio er defineret af:
R (c)=cA (c)={-cu '' (c)} /{u '(c) R (c).
Som med absolut risikoaversion er de respektive udtryk konstant relativ risikoaversion (CRRA) og faldende/stigende relativ risikoaversion (DRRA/IRRA). Fordelen ved denne størrelse er, at den stadig er et gyldigt mål for risikoaversion, selvom nyttefunktionen ændrer sig fra risikotilbøjelighed, dvs. nytten er ikke strengt konveks/konkav på tværs af alle "c". En konstant RRA indebærer en reduktion i ARA af Arrow Pratts teori, men det omvendte er ikke altid sandt. Som et specifikt eksempel på konstant relativ risikoaversion indebærer hjælpefunktionen: u(c)=log(c), RRA=1.
Venstre graf: den risikoundgående hjælpefunktion er konkav nedefra, og den risikovillige hjælpefunktion er konveks. Midterste graf - i rummet af forventede standardafvigelsesværdier hælder risikoindifferenskurver opad. Højre plot - med faste sandsynligheder for de to alternative tilstande 1 og 2, er de risikoaverse indifferenskurver over tilstandsafhængige udfaldspar konvekse.
Nominelt valgsystem
Oprindeligt afviste Arrow kardinal nytte som et vigtigt værktøj til at udtrykke social velfærd, så han koncentrerede sine påstande om rangordningspræferencer, men senerekonkluderede, at et kardinalvurderingssystem med tre eller fire klasser nok er det bedste. Ifølge umulighedssætningen antager public choice, at individuelle og sociale præferencer er ordnet, det vil sige tilfredshed med fuldstændighed og transitivitet i forskellige alternativer. Det betyder, at hvis præferencer er repræsenteret af en hjælpefunktion, er dens værdi nyttig i den forstand, at den giver mening, da en højere værdi betyder et bedre alternativ.
Praktiske anvendelser af teoremet bruges til at evaluere brede kategorier af stemmesystemer. Arrows hovedargument argumenterer for, at ordensafstemningssystemer altid skal overtræde mindst et af de rimelighedskriterier, han skitserede. Den praktiske konsekvens af dette er, at afstemningssystemer, der ikke er i orden, skal undersøges. For eksempel kan rangordningssystemer, hvor vælgerne giver hver kandidat point, opfylde alle Arrows kriterier.
Faktisk var afstemningsmekanismen, Arrows Teorems rationelle kollektive valg og efterfølgende dialog, utroligt vildledende inden for afstemningsområdet. Det menes ofte af studerende og ikke-specialister, at intet afstemningssystem kan opfylde Arrows retfærdighedskriterier, når vurderingssystemer faktisk kan og opfylder alle Arrows kriterier.
