Steiners sætning eller parallelaksesætning til beregning af inertimomentet

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sidst ændret: 2023-12-17 05:21

I den matematiske beskrivelse af rotationsbevægelse er det vigtigt at kende systemets inertimoment om aksen. I det generelle tilfælde involverer proceduren for at finde denne mængde implementering af integrationsprocessen. Den såkaldte Steiner-sætning gør det lettere at beregne. Lad os overveje det mere detaljeret i artiklen.

Hvad er inertimoment?

Før formuleringen af Steiners sætning gives, er det nødvendigt at beskæftige sig med selve begrebet inertimomentet. Antag, at der er en krop af en vis masse og vilkårlig form. Dette legeme kan enten være et materielt punkt eller et hvilket som helst todimensionelt eller tredimensionelt objekt (stang, cylinder, kugle osv.). Hvis det pågældende objekt laver en cirkulær bevægelse omkring en akse med konstant vinkelacceleration α, så kan følgende ligning skrives:

M=Iα

Her repræsenterer værdien M det samlede kraftmoment, som giver acceleration α til hele systemet. Proportionalitetskoefficienten mellem dem - I, kaldesinertimoment. Denne fysiske mængde beregnes ved hjælp af følgende generelle formel:

I=∫_m (r²dm)

Her er r afstanden mellem elementet med massen dm og rotationsaksen. Dette udtryk betyder, at det er nødvendigt at finde summen af produkterne af de kvadrerede afstande r² og den elementære masse dm. Det vil sige, at inertimomentet ikke er en ren egenskab ved kroppen, hvilket adskiller den fra lineær inerti. Det afhænger af massefordelingen i hele objektet, der roterer, såvel som af afstanden til aksen og af kroppens orientering i forhold til den. En stang vil f.eks. have et andet I, hvis den drejes rundt om massecentret og om enden.

Inertimoment og Steiners sætning

Den berømte schweiziske matematiker, Jakob Steiner, beviste teoremet om parallelle akser og inertimomentet, som nu bærer hans navn. Denne sætning postulerer, at inertimomentet for absolut ethvert stivt legeme med vilkårlig geometri i forhold til en rotationsakse er lig med summen af inertimomentet omkring den akse, der skærer legemets massecenter og er parallel med den første., og produktet af kropsmassen gange kvadratet af afstanden mellem disse akser. Matematisk er denne formulering skrevet som følger:

I_Z=I_O + ml²

I_Z og I_O - inertimomenter omkring Z-aksen og O-aksen parallelt med den, som passerer gennem kroppens massecentrum, l - afstand mellem linje Z og O.

Sætningen tillader, at kende værdien af I_O, at beregneethvert andet øjeblik I_Z om en akse, der er parallel med O.

Bevis for sætningen

Steiner-sætningsformlen kan nemt opnås af dig selv. For at gøre dette skal du overveje en vilkårlig krop på xy-planet. Lad oprindelsen af koordinaterne passere gennem dette legemes massecenter. Lad os beregne inertimomentet I_O, som går gennem origo vinkelret på xy-planet. Da afstanden til ethvert punkt i kroppen er udtrykt ved formlen r=√ (x² + y²), så får vi integralet:

I_O=∫_m (r²dm)=∫ m _((x2^+y2^{) dm)}

Lad os nu flytte aksen parallelt langs x-aksen med en afstand l, f.eks. i positiv retning, så vil beregningen for den nye akse for inertimomentet se således ud:

I_Z=∫_m(((x+l)²+y ²)dm)

Udvid den fulde firkant i parentes og divider integranderne, vi får:

I_Z=∫_m ((x²+l ²+2xl+y²)dm)=∫_m ((x²⁾ +y²)dm) + 2l∫_m (xdm) + l ²∫_mdm

Den første af disse termer er værdien I_O, den tredje term, efter integration, giver udtrykket l²m, og her er det andet led nul. Nulstillingen af det angivne integral skyldes, at det er taget fra produktet af x og masseelementer dm, som igennemsnit giver nul, da massecentret er ved origo. Som et resultat opnås formlen for Steiner-sætningen.

Det betragtede tilfælde på flyet kan generaliseres til en tredimensionel krop.

Tjekker Steiner-formlen på eksemplet med en stang

Lad os give et simpelt eksempel for at demonstrere, hvordan man bruger ovenstående sætning.

Det er kendt, at for en stang med længden L og massen m, er inertimomentet I_O(aksen går gennem massecentret) lig med m L² /12, og øjeblikket I_Z(aksen passerer gennem enden af stangen) er lig med mL 2^{/3. Lad os tjekke disse data ved hjælp af Steiners sætning. Da afstanden mellem de to aksler er L/2, får vi øjeblikket I}Z_:

I_Z=I_O+ m(L/2)²=mL²/12 + mL²/4=4mL² /12=mL²/3

Det vil sige, vi tjekkede Steiner-formlen og fik den samme værdi for I_Z som i kilden.

Lignende beregninger kan udføres for andre legemer (cylinder, kugle, skive), mens man opnår de nødvendige inertimomenter og uden at udføre integration.

Inertimoment og vinkelrette akser

Den overvejede sætning vedrører parallelle akser. For fuldstændigheden af informationen er det også nyttigt at give et teorem for vinkelrette akser. Det er formuleret som følger: for et fladt objekt med vilkårlig form vil inertimomentet om en akse vinkelret på det være lig summen af to inertimomenter omkring to indbyrdes vinkelrette og liggendei akseobjektets plan, hvor alle tre akser går gennem det samme punkt. Matematisk skrives dette som følger:

I_z=I_x + I_y

Her er z, x, y tre indbyrdes vinkelrette rotationsakser.

Den væsentlige forskel mellem denne sætning og Steiners sætning er, at den kun kan anvendes på flade (todimensionelle) faste objekter. Ikke desto mindre er det i praksis meget brugt, idet man ment alt skærer kroppen i separate lag og tilføjer derefter de opnåede inertimomenter.