Et mekanisk system, der består af et materialepunkt (legeme), der hænger på en uudvidelig vægtløs tråd (dens masse er ubetydelig sammenlignet med kroppens vægt) i et ensartet tyngdefelt kaldes et matematisk pendul (et andet navn er en oscillator). Der er andre typer af denne enhed. I stedet for et gevind kan en vægtløs stang bruges. Et matematisk pendul kan tydeligt afsløre essensen af mange interessante fænomener. Med en lille svingningsamplitude kaldes dens bevægelse harmonisk.
Mekanisk systemoversigt
Formlen for oscillationsperioden for dette pendul blev udledt af den hollandske videnskabsmand Huygens (1629-1695). Denne samtidige af I. Newton var meget glad for dette mekaniske system. I 1656 skabte han det første pendulur. De målte tiden med eneståendefor disse tiders nøjagtighed. Denne opfindelse er blevet en vigtig milepæl i udviklingen af fysiske eksperimenter og praktiske aktiviteter.
Hvis pendulet er i ligevægt (hængende lodret), vil tyngdekraften blive afbalanceret af kraften fra trådspændingen. Et fladt pendul på en uudvidelig tråd er et system med to frihedsgrader med en forbindelse. Når du kun ændrer én komponent, ændres egenskaberne for alle dens dele. Så hvis gevindet erstattes af en stang, vil dette mekaniske system kun have 1 frihedsgrad. Hvad er egenskaberne ved et matematisk pendul? I dette enkleste system opstår kaos under påvirkning af en periodisk forstyrrelse. I det tilfælde, hvor ophængningspunktet ikke bevæger sig, men svinger, har pendulet en ny ligevægtsposition. Med hurtige op- og nedoscillationer opnår dette mekaniske system en stabil omvendt position. Hun har også sit eget navn. Det kaldes Kapitzas pendul.
Pendulum-ejendomme
Matematisk pendul har meget interessante egenskaber. Alle af dem er bekræftet af kendte fysiske love. Svingningsperioden for ethvert andet pendul afhænger af forskellige omstændigheder, såsom kroppens størrelse og form, afstanden mellem ophængningspunktet og tyngdepunktet, massefordelingen i forhold til dette punkt. Derfor er det en ret vanskelig opgave at bestemme perioden for en hængende krop. Det er meget lettere at beregne perioden for et matematisk pendul, hvis formel vil blive givet nedenfor. Som et resultat af observationer af lignendemekaniske systemer kan etablere følgende mønstre:
• Hvis vi, mens vi opretholder samme længde af pendulet, hænger forskellige vægte, så vil perioden for deres svingninger være den samme, selvom deres masser vil variere meget. Derfor afhænger perioden for et sådant pendul ikke af belastningens masse.
• Når systemet startes, hvis pendulet afbøjes af ikke for store, men forskellige vinkler, vil det begynde at svinge med den samme periode, men med forskellige amplituder. Så længe afvigelserne fra ligevægtscentret ikke er for store, vil svingningerne i deres form være ret tæt på harmoniske. Perioden for et sådant pendul afhænger ikke på nogen måde af oscillationsamplituden. Denne egenskab ved dette mekaniske system kaldes isokronisme (oversat fra græsk "chronos" - tid, "isos" - lige).
Periode af det matematiske pendul
Denne indikator repræsenterer perioden med naturlige svingninger. På trods af den komplekse formulering er selve processen meget enkel. Hvis længden af tråden i et matematisk pendul er L, og accelerationen af frit fald er g, så er denne værdi:
T=2π√L/g
Perioden med små naturlige svingninger afhænger på ingen måde af pendulets masse og amplituden af svingninger. I dette tilfælde bevæger pendulet sig som et matematisk pendul med en reduceret længde.
Svingninger af det matematiske pendul
Et matematisk pendul svinger, hvilket kan beskrives med en simpel differentialligning:
x + ω2 sin x=0, hvor x (t) er en ukendt funktion (dette er vinklen for afvigelsen fra den nedersteligevægtsposition på tidspunktet t, udtrykt i radianer); ω er en positiv konstant, som bestemmes ud fra pendulets parametre (ω=√g/L, hvor g er fritfaldsaccelerationen og L er længden af det matematiske pendul (suspension).
Ligningen for små udsving nær ligevægtspositionen (harmonisk ligning) ser sådan ud:
x + ω2 sin x=0
pendulets oscillerende bevægelser
Et matematisk pendul, der får små svingninger til at bevæge sig langs en sinusform. Andenordens differentialligning opfylder alle krav og parametre for en sådan bevægelse. For at bestemme banen skal du angive hastigheden og koordinaten, hvorfra uafhængige konstanter så bestemmes:
x=En synd (θ0 + ωt), hvor θ0 er startfasen, A er oscillationsamplituden, ω er den cykliske frekvens bestemt ud fra bevægelsesligningen.
Matematisk pendul (formler for store amplituder)
Dette mekaniske system, som laver dets svingninger med en betydelig amplitude, adlyder mere komplekse bevægelseslove. For et sådant pendul beregnes de med formlen:
sin x/2=usn(ωt/u), hvor sn er Jacobisinus, som for u < 1 er en periodisk funktion, og for lille u falder den sammen med en simpel trigonometrisk sinus. Værdien af u bestemmes af følgende udtryk:
u=(ε + ω2)/2ω2, hvor ε=E/mL2 (mL2 er pendulets energi).
Bestemmelse af oscillationsperioden for et ikke-lineært penduludføres efter formlen:
T=2π/Ω, hvor Ω=π/2ω/2K(u), K er det elliptiske integral, π - 3, 14.
Bevægelse af pendulet langs separatrix
En separatrix er en bane af et dynamisk system med et todimensionelt faserum. Det matematiske pendul bevæger sig langs det ikke-periodisk. På et uendeligt fjernt tidspunkt falder det fra den yderste øvre position til siden med nul hastighed og samler det derefter gradvist op. Den stopper til sidst og vender tilbage til sin oprindelige position.
Hvis amplituden af pendulets svingninger nærmer sig tallet π, indikerer dette, at bevægelsen på faseplanet nærmer sig separatrix. I dette tilfælde udviser det mekaniske system kaotisk adfærd under påvirkning af en lille periodisk drivkraft.
Når det matematiske pendul afviger fra ligevægtspositionen med en bestemt vinkel φ, opstår en tangential tyngdekraft Fτ=–mg sin φ. Minustegnet betyder, at denne tangentielle komponent er rettet i modsat retning af penduludbøjningen. Når forskydningen af pendulet langs buen af en cirkel med radius L er angivet med x, er dens vinkelforskydning lig φ=x/L. Isaac Newtons anden lov, designet til projektioner af accelerationsvektoren og kraften, vil give den ønskede værdi:
mg τ=Fτ=–mg sin x/L
Baseret på dette forhold er det klart, at dette pendul er et ikke-lineært system, da den kraft, der søger at vende tilbageden til ligevægtspositionen er altid proportional ikke med forskydningen x, men med sin x/L.
Kun når det matematiske pendul laver små svingninger, er det en harmonisk oscillator. Med andre ord bliver det et mekanisk system, der er i stand til at udføre harmoniske vibrationer. Denne tilnærmelse er praktisk taget gyldig for vinkler på 15–20°. Pendulsvingninger med store amplituder er ikke harmoniske.
Newtons lov for små svingninger af et pendul
Hvis dette mekaniske system udfører små vibrationer, vil Newtons 2. lov se sådan ud:
mg τ=Fτ=–m g/L x.
Baseret på dette kan vi konkludere, at den tangentielle acceleration af det matematiske pendul er proportional med dets forskydning med et minustegn. Dette er den tilstand, som skyldes, at systemet bliver en harmonisk oscillator. Modulet for den proportionale forstærkning mellem forskydning og acceleration er lig med kvadratet af den cirkulære frekvens:
ω02=g/L; ω0=√ g/L.
Denne formel afspejler den naturlige frekvens af små oscillationer af denne type pendul. Baseret på dette
T=2π/ ω0=2π√ g/L.
Beregninger baseret på loven om energibevarelse
Egenskaberne af pendulets oscillerende bevægelser kan også beskrives ved hjælp af loven om energibevarelse. I dette tilfælde skal det tages i betragtning, at pendulets potentielle energi i gravitationsfeltet er:
E=mg∆h=mgL(1 – cos α)=mgL2sin2 α/2
Total mekanisk energier lig med kinetisk eller maksim alt potentiale: Epmax=Ekmsx=E
Når loven om bevarelse af energi er skrevet, skal du tage den afledede af højre og venstre side af ligningen:
Ep + Ek=const
Da den afledede af konstante værdier er 0, er (Ep + Ek)'=0. Den afledte af summen er lig med summen af de afledte:
Ep'=(mg/Lx2/2)'=mg/2L2xx'=mg/Lv + Ek'=(mv2/2)=m/2(v2)'=m/22vv'=mv α, deraf:
Mg/Lxv + mva=v (mg/Lx + m α)=0.
Baseret på den sidste formel finder vi: α=- g/Lx.
Praktisk anvendelse af det matematiske pendul
Accelerationen af frit fald varierer med geografisk breddegrad, da tætheden af jordskorpen over hele planeten ikke er den samme. Hvor bjergarter med højere tæthed forekommer, vil det være noget højere. Accelerationen af et matematisk pendul bruges ofte til geologisk udforskning. Det bruges til at søge efter forskellige mineraler. Blot ved at tælle antallet af svingninger af pendulet, kan du finde kul eller malm i jordens tarme. Dette skyldes det faktum, at sådanne fossiler har en tæthed og masse, der er større end de løse klipper, der ligger under dem.
Det matematiske pendul blev brugt af så fremtrædende videnskabsmænd som Sokrates, Aristoteles, Platon, Plutarch, Archimedes. Mange af dem troede, at dette mekaniske system kunne påvirke en persons skæbne og liv. Arkimedes brugte et matematisk pendul i sine beregninger. I dag er der mange okkultister og synskebruge dette mekaniske system til at opfylde deres profetier eller søge efter forsvundne personer.
Den berømte franske astronom og naturforsker K. Flammarion brugte også et matematisk pendul til sin forskning. Han hævdede, at han med sin hjælp var i stand til at forudsige opdagelsen af en ny planet, udseendet af Tunguska-meteoritten og andre vigtige begivenheder. Under Anden Verdenskrig i Tyskland (Berlin) arbejdede et specialiseret Pendulum Institut. I dag er München Institut for Parapsykologi engageret i lignende forskning. Medarbejderne i denne institution kalder deres arbejde med pendulet "radiesthesia."
