Projektion af kraft på aksen og på planet. Fysik

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sidst ændret: 2023-12-17 05:21

Kraft er et af de vigtigste begreber i fysik. Det forårsager en ændring i tilstanden af ethvert objekt. I denne artikel vil vi overveje, hvad denne værdi er, hvilke kræfter der er, og også vise, hvordan man finder fremskrivningen af kraften på aksen og på planet.

Kraft og dens fysiske betydning

I fysik er kraft en vektorstørrelse, der viser ændringen i et legemes momentum pr. tidsenhed. Denne definition betragter kraft som en dynamisk egenskab. Fra et statisk synspunkt er kraft i fysik et mål for elastisk eller plastisk deformation af legemer.

Det internationale SI-system udtrykker kraft i newton (N). Hvad er 1 newton, den nemmeste måde at forstå eksemplet på den anden lov i klassisk mekanik. Dens matematiske notation er som følger:

F¯=ma¯

Her er F¯ en ekstern kraft, der virker på et legeme med massen m og resulterer i acceleration a¯. Den kvantitative definition af én newton følger af formlen: 1 N er en sådan kraft, der fører til en ændring i hastigheden af et legeme med en masse på 1 kg gange 1 m/s for hvert sekund.

Eksempler på dynamiskkraftmanifestationer er accelerationen af en bil eller et frit faldende legeme i jordens gravitationsfelt.

Den statiske manifestation af kraft er, som nævnt, forbundet med deformationsfænomener. Følgende formler skal angives her:

F=PS

F=-kx

Det første udtryk relaterer kraften F til trykket P, som den udøver på et område S. Gennem denne formel kan 1 N defineres som et tryk på 1 pascal påført et areal på 1 m 2^{. For eksempel presser en søjle af atmosfærisk luft ved havoverfladen på et sted på 1 m}2^{med en kraft på 10}5^N!

Det andet udtryk er den klassiske form for Hookes lov. For eksempel fører strækning eller komprimering af en fjeder med en lineær værdi x til fremkomsten af en modsatrettet kraft F (i udtrykket er k proportionalitetsfaktoren).

Hvilke kræfter er der

Det er allerede blevet vist ovenfor, at kræfter kan være statiske og dynamiske. Her siger vi, at de ud over denne funktion kan være kontakt- eller langdistancekræfter. For eksempel er friktionskraft, støttereaktioner kontaktkræfter. Årsagen til deres udseende er gyldigheden af Pauli-princippet. Sidstnævnte siger, at to elektroner ikke kan indtage den samme tilstand. Det er derfor, berøring af to atomer fører til deres frastødning.

Langrækkende kræfter opstår som et resultat af kroppens interaktion gennem et bestemt bærefelt. For eksempel er det tyngdekraften eller elektromagnetisk interaktion. Begge magter har et uendeligt område,deres intensitet falder dog som kvadratet af afstanden (Coulombs love og tyngdekraften).

Power er en vektormængde

Efter at have behandlet betydningen af den betragtede fysiske størrelse, kan vi gå videre til undersøgelsen af spørgsmålet om kraftprojektion på aksen. Først og fremmest bemærker vi, at denne mængde er en vektor, det vil sige, at den er karakteriseret ved et modul og en retning. Vi vil vise, hvordan man beregner kraftmodulet og dets retning.

Det er kendt, at enhver vektor kan defineres unikt i et givet koordinatsystem, hvis værdierne af koordinaterne for dens begyndelse og slutning er kendt. Antag, at der er et eller andet rettet segment MN¯. Derefter kan dets retning og modul bestemmes ved hjælp af følgende udtryk:

MN¯=(x₂-x₁; y₂-y 1_{; z}2_-z1_);

|MN¯|=√((x₂-x₁)²+ (y_{2 -y}1₎2^{+ (z}2_-z1 ₎2^).

Her svarer koordinater med indeks 2 til punkt N, dem med indeks 1 svarer til punkt M. Vektoren MN¯ er rettet fra M til N.

For generelhedens skyld har vi vist, hvordan man finder modulet og koordinaterne (retningen) af en vektor i tredimensionelt rum. Lignende formler uden den tredje koordinat er gyldige for sagen på flyet.

Således er kraftmodulet dens absolutte værdi, udtrykt i newton. Fra et geometrisk synspunkt er modulet længden af det rettede segment.

Hvad er kraftprojektionen påakse?

Det er mest bekvemt at tale om projektioner af rettede segmenter på koordinatakser og planer, hvis du først placerer den tilsvarende vektor ved origo, det vil sige ved punktet (0; 0; 0). Antag, at vi har en kraftvektor F¯. Lad os placere dens begyndelse ved punktet (0; 0; 0), så kan vektorens koordinater skrives som følger:

F¯=((x₁- 0); (y₁- 0); (z_1); - 0))=(x₁; y₁; z₁).

Vektor F¯ viser retningen af kraften i rummet i det givne koordinatsystem. Lad os nu tegne vinkelrette segmenter fra enden af F¯ til hver af akserne. Afstanden fra skæringspunktet for vinkelret med den tilsvarende akse til origo kaldes projektionen af kraften på aksen. Det er ikke svært at gætte, at i tilfælde af kraften F¯ vil dens projektioner på x-, y- og z-akserne være x₁, y_{1 og z 1}, henholdsvis. Bemærk, at disse koordinater viser modulerne af kraftprojektioner (længden af segmenterne).

Vinkler mellem kraften og dens projektioner på koordinatakserne

Det er ikke svært at beregne disse vinkler. Det eneste, der kræves for at løse det, er viden om egenskaberne ved trigonometriske funktioner og evnen til at anvende Pythagoras sætning.

For eksempel, lad os definere vinklen mellem kraftretningen og dens projektion på x-aksen. Den tilsvarende retvinklede trekant vil blive dannet af hypotenusen (vektor F¯) og benet (segment x₁). Det andet ben er afstanden fra enden af vektoren F¯ til x-aksen. Vinklen α mellem F¯ og x-aksen beregnes med formlen:

α=arccos(|x₁|/|F¯|)=arccos(x₁/√(x ₁²+y₁²+z₁ ²)).

Som du kan se, for at bestemme vinklen mellem aksen og vektoren, er det nødvendigt og tilstrækkeligt at kende koordinaterne for enden af det rettede segment.

For vinkler med andre akser (y og z), kan du skrive lignende udtryk:

β=arccos(|y₁|/|F¯|)=arccos(y₁/√(x 12^+y12^+z 12^));

γ=arccos(|z₁|/|F¯|)=arccos(z₁/√(x 12^+y12^+z 12^)).

Bemærk, at der i alle formler er moduler i tællere, hvilket eliminerer udseendet af stumpe hjørner. Mellem kraften og dens aksiale fremspring er vinklerne altid mindre end eller lig med 90^o.

Kraften og dens projektioner på koordinatplanet

Definitionen af kraftprojektionen på planet er den samme som for aksen, kun i dette tilfælde skal vinkelret ikke sænkes ned på aksen, men på planet.

I tilfælde af et rumligt rektangulært koordinatsystem har vi tre indbyrdes vinkelrette planer xy (vandret), yz (frontal vertikal), xz (lateral vertikal). Skæringspunkterne for perpendikulerne faldet fra enden af vektoren til de navngivne planer er:

(x₁; y₁; 0) for xy;

(x₁; 0; z₁) for xz;

(0; y₁; z₁) for zy.

Hvis hvert af de markerede punkter er forbundet med origo, får vi projektionen af kraften F¯ på det tilsvarende plan. Hvad er kraftmodulet, ved vi. For at finde modulet for hver projektion skal du anvende Pythagoras sætning. Lad os betegne projektionerne på planet som F_xy, F_xz og F_zy. Så vil ligestillingen være gældende for deres moduler:

F_xy=√(x₁²+y₁ ²);

F_xz=√(x₁²+ z₁ ²);

F_zy=√(y₁²+ z₁ ²).

Vinkler mellem projektioner på planet og kraftvektor

I afsnittet ovenfor blev der givet formler for modulerne af projektioner på planet af den betragtede vektor F¯. Disse projektioner danner sammen med segmentet F¯ og afstanden fra dets ende til planet retvinklede trekanter. Derfor kan man som i tilfældet med projektioner på aksen bruge definitionen af trigonometriske funktioner til at beregne de pågældende vinkler. Du kan skrive følgende ligheder:

α=arccos(F_xy/|F¯|)=arccos(√(x₁^{2 +y}12^{) /√(x}12 +y¹₂+z¹₂));

β=arccos(F_xz/|F¯|)=arccos(√(x₁^{2 +z}12^)/√(x12 +y¹₂+z¹₂));

γ=arccos(F_zy/|F¯|)=arccos(√(y₁²+z₁²)/√(x₁²+y₁² +z₁²)).

Det er vigtigt at forstå, at vinklen mellem retningen af kraften F¯ og dens tilsvarende projektion på planet er lig med vinklen mellem F¯ og dette plan. Hvis vi betragter dette problem ud fra et geometrisk synspunkt, kan vi sige, at det rettede segment F¯ hælder i forhold til planerne xy, xz og zy.

Hvor bruges kraftprojektioner?

Ovenstående formler for kraftprojektioner på koordinatakserne og på planet er ikke kun af teoretisk interesse. De bruges ofte til at løse fysiske problemer. Selve processen med at finde fremspring kaldes nedbrydning af kraften i dens komponenter. Sidstnævnte er vektorer, hvis sum skulle give den oprindelige kraftvektor. I det generelle tilfælde er det muligt at dekomponere kraften i vilkårlige komponenter, men for at løse problemer er det praktisk at bruge projektioner på vinkelrette akser og planer.

Problemer, hvor konceptet kraftprojektioner anvendes, kan være meget forskellige. For eksempel antager den samme Newtons anden lov, at den ydre kraft F¯, der virker på kroppen, skal rettes på samme måde som hastighedsvektoren v¯. Hvis deres retninger adskiller sig fra en eller anden vinkel, så bør man, for at ligheden forbliver gyldig, ikke indsætte kraften F¯ i den selv, men dens projektion på retningen v¯.

Dernæst vil vi give et par eksempler, hvor vi vil vise, hvordan man bruger det optagedeformler.

Opgaven med at bestemme kraftprojektioner på planet og på koordinatakserne

Antag, at der er en eller anden kraft F¯, som er repræsenteret af en vektor med følgende ende- og startkoordinater:

(2; 0; 1);

(-1; 4; -1).

Det er nødvendigt at bestemme kraftens modul, såvel som alle dens projektioner på koordinatakserne og -planerne, og vinklerne mellem F¯ og hver af dens projektioner.

Lad os begynde at løse problemet ved at beregne koordinaterne for vektoren F¯. Vi har:

F¯=(-1; 4; -1) - (2; 0; 1)=(-3; 4; -2).

Så vil kraftmodulet være:

|F¯|=√(9 + 16 + 4)=√29 ≈ 5, 385 N.

Projektioner på koordinatakserne er lig med de tilsvarende koordinater for vektoren F¯. Lad os beregne vinklerne mellem dem og F¯-retningen. Vi har:

α=arccos(|-3 |/5, 385) ≈ 56, 14^o;

β=arccos(|4|/5, 385) ≈ 42, 03^o;

γ=arccos(|-2|/5, 385) ≈ 68, 20^o.

Da koordinaterne for vektoren F¯ er kendt, er det muligt at beregne modulerne af kraftprojektioner på koordinatplanet. Ved at bruge ovenstående formler får vi:

F_xy=√(9 +16)=5 N;

F_xz=√(9 + 4)=3, 606 N;

F_zy=√(16 + 4)=4, 472 N.

Til sidst er det tilbage at beregne vinklerne mellem de fundne projektioner på planet og kraftvektoren. Vi har:

α=arccos(F_xy/|F¯|)=arccos(5/5, 385) ≈ 21, 8^o;

β=arccos(F_xz/|F¯|)=arccos(3, 606/5, 385) ≈ 48, 0^o;

γ=arccos(F_zy/|F¯|)=arccos(4, 472/5, 385) ≈ 33, 9^o.

Således er vektoren F¯ tættest på xy-koordinatplanet.

Problem med en glidestang på et skråplan

Lad os nu løse et fysisk problem, hvor det bliver nødvendigt at anvende begrebet kraftprojektion. Lad et skråplan af træ gives. Vinklen på dens hældning til horisonten er 45^o. På flyet er en træklods med en masse på 3 kg. Det er nødvendigt at bestemme med hvilken acceleration denne stang vil bevæge sig ned ad planet, hvis det er kendt, at glidefriktionenskoefficienten er 0,7.

Først, lad os lave ligningen for kroppens bevægelse. Da kun to kræfter vil virke på det (projektionen af tyngdekraften på et plan og friktionskraften), vil ligningen have formen:

F_g- F_f=ma=>

a=(F_g- F_f)/m.

Her er F_g, F_f projektionen af henholdsvis tyngdekraft og friktion. Det vil sige, at opgaven er reduceret til at beregne deres værdier.

Da vinklen, hvormed flyet hælder mod horisonten, er 45^o, er det let at vise, at tyngdekraftens projektion F_glangs overfladen af flyet vil være lig med:

F_g=mgsin(45^o)=39, 81/√2 ≈ 20, 81 N.

Denne kraftprojektion søger at foruroligetræklods og giv den acceleration.

Ifølge definitionen er kraften af glidende friktion:

F_f=ΜN

Hvor Μ=0, 7 (se problemets tilstand). Reaktionskraften af støtten N er lig med projektionen af tyngdekraften på aksen vinkelret på det skrå plan, dvs.: