Differentialregningsfunktioner for en og flere variable

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sidst ændret: 2024-01-02 17:43

Kalkylen er en gren af calculus, der studerer den afledede, differentialer og deres brug i studiet af en funktion.

Udseendehistorie

Differentialregning opstod som en selvstændig disciplin i anden halvdel af det 17. århundrede, takket være Newtons og Leibniz' arbejde, som formulerede de grundlæggende bestemmelser i differentialregningen og lagde mærke til sammenhængen mellem integration og differentiering. Siden det øjeblik har disciplinen udviklet sig sammen med integralregningen, og dermed dannet grundlaget for matematisk analyse. Udseendet af disse calculus åbnede en ny moderne periode i den matematiske verden og forårsagede fremkomsten af nye discipliner i videnskaben. Det udvidede også muligheden for at anvende matematisk videnskab i naturvidenskab og teknologi.

Grundlæggende begreber

Differentialregning er baseret på matematikkens grundlæggende begreber. De er: reelt tal, kontinuitet, funktion og grænse. Med tiden fik de et moderne udseende takket være integral- og differentialregning.

Oprettelsesproces

Dannelsen af differentialregning i form af en anvendt og derefter en videnskabelig metode fandt sted før fremkomsten af en filosofisk teori, som blev skabt af Nicholas af Cusa. Hans værker betragtes som en evolutionær udvikling fra oldtidens videnskabs domme. På trods af at filosoffen selv ikke var matematiker, er hans bidrag til udviklingen af matematisk videnskab ubestrideligt. Kuzansky var en af de første, der gik væk fra at betragte aritmetik som det mest nøjagtige videnskabsområde, hvilket satte datidens matematik i tvivl.

Gamle matematikere brugte enheden som et universelt kriterium, mens filosoffen foreslog uendelighed som et nyt mål i stedet for det nøjagtige tal. I denne henseende er fremstillingen af præcision i matematisk videnskab omvendt. Videnskabelig viden er ifølge ham opdelt i rationel og intellektuel. Den anden er mere nøjagtig, ifølge videnskabsmanden, da den første kun giver et omtrentlig resultat.

fichtengolts forløb af differential- og integralregning

Idea

Hovedideen og -begrebet i differentialregning er relateret til en funktion i små kvarterer med bestemte punkter. For at gøre dette er det nødvendigt at skabe et matematisk apparat til at studere en funktion, hvis adfærd i et lille kvarter af de etablerede punkter er tæt på adfærden af et polynomium eller en lineær funktion. Dette er baseret på definitionen af en afledt og en differential.

Forekomsten af begrebet en derivativ var forårsaget af en lang række problemer fra naturvidenskab og matematik,hvilket førte til, at man fandt værdierne for grænser af samme type.

Et af hovedproblemerne, der er givet som eksempel fra gymnasiet, er at bestemme hastigheden af et punkt, der bevæger sig langs en ret linje, og konstruere en tangentlinje til denne kurve. Differentialet er relateret til dette, da det er muligt at tilnærme funktionen i et lille kvarter af det betragtede punkt i den lineære funktion.

Sammenlignet med begrebet afledet af en funktion af en reel variabel, går definitionen af differentialer simpelthen over til en funktion af generel karakter, især til billedet af et euklidisk rum på et andet.

Afledt

Lad punktet bevæge sig i retning af Oy-aksen, i den tid vi tager x, som tælles fra en bestemt begyndelse af øjeblikket. En sådan bevægelse kan beskrives med funktionen y=f(x), som tildeles hvert tidsmoment x af koordinaten for det punkt, der flyttes. I mekanik kaldes denne funktion for bevægelsesloven. Det vigtigste kendetegn ved bevægelse, især ujævn, er den øjeblikkelige hastighed. Når et punkt bevæger sig langs Oy-aksen i henhold til mekanikkens lov, så får det på et tilfældigt tidspunkt x, koordinaten f (x). På tidspunktet x + Δx, hvor Δx angiver stigningen i tid, vil dens koordinat være f(x + Δx). Sådan dannes formlen Δy \u003d f (x + Δx) - f (x), som kaldes inkrementet af funktionen. Det repræsenterer stien tilbagelagt af tidspunktet fra x til x + Δx.

differentialregning af en funktion af en variabel

På grund af fremkomsten af dettehastighed på tidspunktet, introduceres den afledte. I en vilkårlig funktion kaldes den afledede i et fast punkt grænsen (forudsat at den eksisterer). Det kan betegnes med visse symboler:

f’(x), y’, ý, df/dx, dy/dx, Df(x).

Processen med at beregne den afledede kaldes differentiering.

Differentialregning af en funktion af flere variable

Denne beregningsmetode bruges, når man undersøger en funktion med flere variable. I tilstedeværelsen af to variable x og y kaldes den partielle afledte med hensyn til x i punkt A den afledede af denne funktion med hensyn til x med fast y.

Kan repræsenteres af følgende tegn:

f’(x)(x, y), u’(x), ∂u/∂x eller ∂f(x, y)’/∂x.

påkrævede færdigheder

Kompetencer inden for integration og differentiering er nødvendige for at kunne studere og være i stand til at løse diffuse. For at gøre det lettere at forstå differentialligninger bør du have en god forståelse af emnet for den afledede og det ubestemte integral. Det skader heller ikke at lære at finde den afledede af en implicit given funktion. Dette skyldes, at der i processen med at studere integraler og differentiering ofte vil skulle bruges.

Typer af differentialligninger

I næsten alle testpapirer relateret til førsteordens differentialligninger er der 3 typer ligninger: homogene, med adskillelige variable, lineære inhomogene.

Der er også sjældnere varianter af ligninger: med totale differentialer, Bernoullis ligninger og andre.

Beslutningsgrundlag

Først skal du huske de algebraiske ligninger fra skoleforløbet. De indeholder variabler og tal. For at løse en almindelig ligning skal du finde et sæt tal, der opfylder en given betingelse. Som regel havde sådanne ligninger én rod, og for at kontrollere rigtigheden skulle man kun erstatte denne værdi med det ukendte.

Differentialligning ligner denne. Generelt inkluderer en sådan førsteordensligning:

Uafhængig variabel.
Den afledte af den første funktion.
En funktion eller afhængig variabel.

I nogle tilfælde kan en af de ukendte, x eller y, mangle, men det er ikke så vigtigt, da tilstedeværelsen af den første afledede, uden højere ordens afledte, er nødvendig for løsningen og differentialet beregningen er korrekt.

At løse en differentialligning betyder at finde mængden af alle funktioner, der matcher det givne udtryk. Sådan et sæt funktioner kaldes ofte den generelle løsning af DE.

Integralregning

Integralregning er en af de dele af matematisk analyse, der studerer begrebet integral, egenskaber og metoder til dets beregning.

Ofte sker beregningen af integralet ved beregning af arealet af en buet figur. Dette område betyder den grænse, til hvilken arealet af en polygon, der er indskrevet i en given figur, tenderer med en gradvis stigning i dens side, mens disse sider kan gøres mindre end nogen tidligere specificeret vilkårliglille værdi.

Hovedideen ved beregning af arealet af en vilkårlig geometrisk figur er at beregne arealet af et rektangel, det vil sige at bevise, at dets areal er lig med produktet af længde og bredde. Når det kommer til geometri, er alle konstruktioner lavet ved hjælp af en lineal og et kompas, og så er forholdet mellem længde og bredde en rationel værdi. Når du beregner arealet af en retvinklet trekant, kan du bestemme, at hvis du sætter den samme trekant ved siden af den, dannes et rektangel. I et parallelogram beregnes arealet ved en lignende, men lidt mere kompliceret metode, gennem et rektangel og en trekant. I polygoner beregnes arealet gennem trekanter, der er inkluderet i det.

Når man bestemmer sparingen af en vilkårlig kurve, vil denne metode ikke fungere. Hvis du deler det op i enkelte firkanter, så vil der være ufyldte pladser. I dette tilfælde forsøger man at bruge to omslag med rektangler øverst og nederst, som et resultat, de inkluderer grafen for funktionen og ikke gør det. Metoden til opdeling i disse rektangler er fortsat vigtig her. Hvis vi tager stadig mindre partitioner, så bør området over og under konvergere til en vis værdi.

Det skulle gå tilbage til metoden til opdeling i rektangler. Der er to populære metoder.

Riemann formaliserede definitionen af integralet skabt af Leibniz og Newton som arealet af en undergraf. I dette tilfælde blev tal taget i betragtning, bestående af et vist antal lodrette rektangler og opnået ved at divideresegment. Når der, efterhånden som partitionen falder, er en grænse, til hvilken arealet af en lignende figur reduceres, kaldes denne grænse for Riemann-integralet af en funktion i et givet interval.

Den anden metode er konstruktionen af Lebesgue-integralet, som består i, at stedet for at opdele det definerede område i dele af integranden og derefter kompilere integralsummen fra værdierne opnået i disse dele, dets værdiområde opdeles i intervaller og derefter opsummeres med de tilsvarende mål for forbilleder af disse integraler.

Moderne fordele

En af hovedmanualerne til studiet af differential- og integralregning blev skrevet af Fikhtengolts - "Course of differential and integral calculus". Hans lærebog er en grundlæggende guide til studiet af matematisk analyse, som har gennemgået mange udgaver og oversættelser til andre sprog. Skabt til universitetsstuderende og har længe været brugt i mange uddannelsesinstitutioner som et af de vigtigste studiehjælpemidler. Giver teoretiske data og praktiske færdigheder. Først udgivet i 1948.

Funktionsforskningsalgoritme

For at undersøge en funktion ved hjælp af differentialregningsmetoderne skal du følge den allerede givne algoritme:

Find omfanget af en funktion.
Find rødderne til den givne ligning.
Beregn ekstremer. For at gøre dette skal du beregne den afledede og de punkter, hvor den er lig med nul.
Sæt den resulterende værdi ind i ligningen.

varianter af differentialligninger

førsteordens kontrol (ellers differentialenkelt variabel beregning) og deres typer:

Separerbar ligning: f(y)dy=g(x)dx.
De enkleste ligninger eller differentialregning af en funktion af en variabel, der har formlen: y'=f(x).
Lineær inhomogen førsteordens DE: y'+P(x)y=Q(x).
Bernoulli differentialligning: y'+P(x)y=Q(x)ya.
Ligning med totale differentialer: P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0.

Differentialligninger af anden orden og deres typer:

Lineær andenordens homogen differentialligning med konstante koefficientværdier: y +py'+qy=0 p, q tilhører R.
Lineær inhomogen andenordens differentialligning med konstante koefficienter: y +py'+qy=f(x).
Lineær homogen differentialligning: y +p(x)y'+q(x)y=0, og inhomogen andenordensligning: y+p(x)y'+q(x)y=f(x).

Differentialligninger med højere orden og deres typer:

Differentialligning, der kan reduceres i rækkefølge: F(x, y^(k), y^(k+1),.., y^(n)=0.

Lineær højere ordens homogen ligning: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^{(n- 1)}+…+f₁y'+f₀y=0, og inhomogen: y⁽ⁿ⁾⁾+f_(n-1)y^(n-1)+…+f_{1 y'+f}0_y=f(x).

Trin til at løse et problem med en differentialligning

Ved hjælp af fjernbetjening løses ikke kun matematiske eller fysiske spørgsmål, men også forskellige problemer frabiologi, økonomi, sociologi mv. På trods af de mange forskellige emner, bør man holde sig til en enkelt logisk sekvens, når man løser sådanne problemer:

Samling af fjernbetjening. Et af de sværeste trin, der kræver maksimal præcision, da enhver fejl vil føre til helt forkerte resultater. Alle faktorer, der påvirker processen, bør tages i betragtning, og de indledende betingelser bør bestemmes. Det bør også være baseret på fakta og logiske konklusioner.
Løsning af den formulerede ligning. Denne proces er enklere end det første trin, da den kun kræver strenge matematiske beregninger.
Analyse og evaluering af resultaterne. Den afledte løsning bør evalueres for at fastslå den praktiske og teoretiske værdi af resultatet.

Et eksempel på brug af differentialligninger i medicin

Brugen af fjernbetjening inden for medicin opstår, når man bygger en epidemiologisk matematisk model. Samtidig skal man ikke glemme, at disse ligninger også findes i biologi og kemi, som ligger tæt på medicin, fordi studiet af forskellige biologiske populationer og kemiske processer i menneskekroppen spiller en vigtig rolle i det.

I ovenstående eksempel på en epidemi kan vi overveje smittespredning i et isoleret samfund. Indbyggerne er opdelt i tre typer:

Inficeret, nummer x(t), bestående af individer, bærere af infektionen, som hver især er smitsom (inkubationsperioden er kort).
Den anden type omfattermodtagelige individer y(t), der er i stand til at blive inficeret gennem kontakt med inficerede individer.
Den tredje art omfatter immune individer z(t), der er immune eller er døde på grund af sygdom.

Antallet af individer er konstant, idet der ikke tages højde for fødsler, naturlige dødsfald og migration. Der vil være to hypoteser i kernen.

Procentdelen af forekomst på et bestemt tidspunkt er x(t)y(t) (baseret på teorien om, at antallet af tilfælde er proportion alt med antallet af skæringspunkter mellem syge og modtagelige repræsentanter, som i den første tilnærmelse vil være proportional med x(t)y(t)), i forbindelse hermed stiger antallet af tilfælde, og antallet af modtagelige fald med en hastighed, der beregnes med formlen ax(t)y(t) (a > 0).

Antallet af immune individer, der er blevet immune eller døde, stiger med en hastighed, der er proportional med antallet af tilfælde, bx(t) (b > 0).

Som et resultat kan du lave et ligningssystem, der tager højde for alle tre indikatorer og drage konklusioner baseret på det.

Eksempel på økonomi

Differentialregning bruges ofte i økonomisk analyse. Hovedopgaven i økonomisk analyse er studiet af mængder fra økonomien, som er skrevet i form af en funktion. Dette bruges ved løsning af problemer såsom ændringer i indkomst umiddelbart efter en stigning i skatten, indførelse af told, ændringer i virksomhedens indtægter, når produktionsomkostningerne ændrer sig, i hvilken andel kan pensionerede arbejdere erstattes med nyt udstyr. For at løse sådanne problemer er det nødvendigtopbyg en forbindelsesfunktion ud fra inputvariablerne, som derefter studeres ved hjælp af differentialregningen.

I den økonomiske sfære er det ofte nødvendigt at finde de mest optimale indikatorer: maksimal arbejdsproduktivitet, den højeste indkomst, de laveste omkostninger og så videre. Hver sådan indikator er en funktion af et eller flere argumenter. For eksempel kan produktion ses som en funktion af arbejdskraft og kapitalinput. I denne henseende kan det at finde en passende værdi reduceres til at finde maksimum eller minimum af en funktion fra en eller flere variable.

Problemer af denne art skaber en klasse af ekstreme problemer på det økonomiske område, hvis løsning kræver differentialregning. Når en økonomisk indikator skal minimeres eller maksimeres som en funktion af en anden indikator, vil forholdet mellem funktionens tilvækst og argumenterne ved maksimumspunktet tendere mod nul, hvis stigningen af argumentet har en tendens til nul. Ellers, når et sådant forhold har en tendens til en positiv eller negativ værdi, er det angivne punkt ikke egnet, for ved at øge eller mindske argumentet kan du ændre den afhængige værdi i den ønskede retning. I terminologien for differentialregning vil dette betyde, at den nødvendige betingelse for maksimum af en funktion er nulværdien af dens afledte.

I økonomi er der ofte problemer med at finde yderpunktet for en funktion med flere variable, fordi økonomiske indikatorer er opbygget af mange faktorer. Sådanne spørgsmål er gode.studeret i teorien om funktioner af flere variabler ved at anvende metoder til differentialberegning. Sådanne problemer omfatter ikke kun maksimerede og minimerede funktioner, men også begrænsninger. Sådanne spørgsmål er relateret til matematisk programmering, og de løses ved hjælp af specialudviklede metoder, også baseret på denne videnskabsgren.

Blandt metoderne til differentialregning, der bruges i økonomi, er et vigtigt afsnit marginalanalyse. På det økonomiske område refererer dette udtryk til et sæt metoder til at studere variable indikatorer og resultater ved ændring af mængden af skabelse, forbrug baseret på analysen af deres marginale indikatorer. Den begrænsende indikator er de afledte eller partielle afledte med flere variabler.

Differentialregning af flere variable er et vigtigt emne inden for matematisk analyse. Til en detaljeret undersøgelse kan du bruge forskellige lærebøger til videregående uddannelser. En af de mest berømte blev skabt af Fikhtengolts - "Kurs for differential- og integralregning". Som navnet antyder, er færdigheder i at arbejde med integraler af stor betydning for løsning af differentialligninger. Når differentialregningen af en funktion af en variabel finder sted, bliver løsningen enklere. Selvom det skal bemærkes, er det underlagt de samme grundlæggende regler. For at studere en funktion i praksis ved differentialregning er det nok at følge den allerede eksisterende algoritme, som er givet i gymnasiet og kun lidt kompliceret, når nye introduceres.variabler.