Løsning af ligninger i matematik har en særlig plads. Forud for denne proces er der mange timers studier af teorien, hvor den studerende lærer at løse ligninger, bestemme deres form og bringe færdigheden til fuld automatisme. Søgen efter rødder giver dog ikke altid mening, da de måske simpelthen ikke eksisterer. Der er specielle metoder til at finde rødder. I denne artikel vil vi analysere hovedfunktionerne, deres omfang samt tilfælde, hvor deres rødder er fraværende.
Hvilken ligning har ingen rødder?
En ligning har ingen rødder, hvis der ikke er sådanne reelle argumenter x, for hvilke ligningen er identisk sand. For en ikke-specialist ser denne formulering, ligesom de fleste matematiske sætninger og formler, meget vag og abstrakt ud, men dette er i teorien. I praksis bliver alt ekstremt enkelt. For eksempel: ligningen 0x=-53 har ingen løsning, da der ikke er et sådant tal x, hvis produkt med nul ville give noget andet end nul.
Nu vil vi se på de mest grundlæggende ligningstyper.
1. Lineær ligning
En ligning kaldes lineær, hvis dens højre og venstre del er repræsenteret som lineære funktioner: ax + b=cx + d eller i en generaliseret form kx + b=0. Hvor a, b, c, d er kendte tal, og x er en ukendt størrelse. Hvilken ligning har ingen rødder? Eksempler på lineære ligninger er vist i illustrationen nedenfor.
Grundlæggende løses lineære ligninger ved blot at flytte taldelen til den ene del og indholdet af x til den anden. Det viser sig en ligning med formen mx \u003d n, hvor m og n er tal, og x er en ukendt. For at finde x er det nok at dividere begge dele med m. Så er x=n/m. Grundlæggende har lineære ligninger kun én rod, men der er tilfælde, hvor der enten er uendeligt mange rødder eller slet ingen. Med m=0 og n=0 har ligningen formen 0x=0. Absolut ethvert tal vil være løsningen på en sådan ligning.
Men hvilken ligning har ingen rødder?
Når m=0 og n=0, har ligningen ingen rødder fra mængden af reelle tal. 0x=-1; 0x=200 - disse ligninger har ingen rødder.
2. Kvadratisk ligning
En andengradsligning er en ligning med formen ax2 + bx + c=0 for a=0. Den mest almindelige måde at løse en andengradsligning på er at løse den gennem diskriminanten. Formlen til at finde diskriminanten for en andengradsligning: D=b2 - 4ac. Så er der to rødder x1, 2=(-b ± √D) / 2a.
Når D > 0 har ligningen to rødder, når D=0 - en rod. Men hvilken andengradsligning har ingen rødder?Den nemmeste måde at observere antallet af rødder i en andengradsligning er på grafen for en funktion, som er en parabel. Ved en > 0 er grenene rettet opad, ved en < 0 er grenene sænket ned. Hvis diskriminanten er negativ, har en sådan andengradsligning ingen rødder i mængden af reelle tal.
Du kan også visuelt bestemme antallet af rødder uden at beregne diskriminanten. For at gøre dette skal du finde toppen af parablen og bestemme, i hvilken retning grenene er rettet. Du kan bestemme x-koordinaten for et toppunkt ved hjælp af formlen: x0 =-b / 2a. I dette tilfælde findes y-koordinaten for toppunktet ved blot at erstatte x0 værdien i den oprindelige ligning.
Den andengradsligning x2 – 8x + 72=0 har ingen rødder, fordi den har en negativ diskriminant D=(–8)2 - 4172=-224. Det betyder, at parablen ikke rører x-aksen, og funktionen tager aldrig værdien 0, hvorfor ligningen ikke har nogen reelle rødder.
3. Trigonometriske ligninger
Trigonometriske funktioner betragtes på en trigonometrisk cirkel, men kan også repræsenteres i et kartesisk koordinatsystem. I denne artikel vil vi se på to grundlæggende trigonometriske funktioner og deres ligninger: sinx og cosx. Da disse funktioner danner en trigonometrisk cirkel med radius 1, |sinx| og |cosx| kan ikke være større end 1. Så hvilken sinx-ligning har ingen rødder? Overvej grafen for sinx-funktionen vist på billedetnedenfor.
Vi ser, at funktionen er symmetrisk og har en gentagelsesperiode på 2pi. Baseret på dette kan vi sige, at den maksimale værdi af denne funktion kan være 1 og minimum -1. For eksempel vil udtrykket cosx=5 ikke have rødder, da dets modulo er større end én.
Dette er det enkleste eksempel på trigonometriske ligninger. Faktisk kan deres løsning tage mange sider, hvor du i slutningen indser, at du brugte den forkerte formel, og du skal starte forfra. Nogle gange, selv med den korrekte fund af rødderne, kan du glemme at tage hensyn til begrænsningerne på ODZ, hvorfor der vises en ekstra rod eller et interval i svaret, og hele svaret bliver til et fejlagtigt. Følg derfor nøje alle begrænsningerne, fordi ikke alle rødder passer ind i opgavens omfang.
4. Ligningssystemer
Et ligningssystem er et sæt ligninger kombineret med krøllede eller firkantede parenteser. Krøllede klammeparenteser angiver den fælles udførelse af alle ligninger. Det vil sige, at hvis mindst en af ligningerne ikke har nogen rødder eller modsiger den anden, har hele systemet ingen løsning. Firkantede parenteser angiver ordet "eller". Det betyder, at hvis mindst en af systemets ligninger har en løsning, så har hele systemet en løsning.
Svaret for systemet med firkantede parenteser er helheden af alle rødderne til de individuelle ligninger. Og systemer med krøllede seler har kun fælles rødder. Ligningssystemer kan omfatte absolut forskellige funktioner, så denne kompleksitet er det ikkegiver dig mulighed for straks at fortælle, hvilken ligning der ikke har nogen rødder.
Generalisering og tips til at finde rødderne til ligningen
I opgavebøger og lærebøger er der forskellige typer ligninger: dem, der har rødder, og dem, der ikke har dem. Først og fremmest, hvis du ikke kan finde rødder, skal du ikke tro, at de slet ikke eksisterer. Du har muligvis lavet en fejl et sted, så skal du bare dobbelttjekke din løsning.
Vi har dækket de mest grundlæggende ligninger og deres typer. Nu kan du se, hvilken ligning der ikke har rødder. I de fleste tilfælde er dette slet ikke svært at gøre. For at opnå succes med at løse ligninger kræves kun opmærksomhed og koncentration. Øv mere, det vil hjælpe dig med at navigere i materialet meget bedre og hurtigere.
Så, ligningen har ingen rødder, hvis:
- i den lineære ligning mx=n værdien m=0 og n=0;
- i en andengradsligning, hvis diskriminanten er mindre end nul;
- i en trigonometrisk ligning med formen cosx=m / sinx=n, hvis |m| > 0, |n| > 0;
- i et ligningssystem med krøllede parenteser, hvis mindst én ligning ikke har rødder, og med firkantede parenteser, hvis alle ligninger ikke har nogen rødder.
