Hvordan beregner man arealet af en pyramide: base, side og fuld?

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sidst ændret: 2023-12-17 05:21

Når de forbereder sig til eksamen i matematik, skal eleverne systematisere deres viden om algebra og geometri. Jeg vil gerne kombinere alle kendte oplysninger, for eksempel hvordan man beregner arealet af en pyramide. Desuden begyndende fra bunden og sidefladerne til hele overfladearealet. Hvis situationen er klar med sidefladerne, da de er trekanter, er grundfladen altid anderledes.

Hvordan finder man arealet af bunden af pyramiden?

Det kan have absolut enhver form: fra en vilkårlig trekant til en n-gon. Og denne base, ud over forskellen i antallet af vinkler, kan være en almindelig figur eller en forkert. I USE opgaver af interesse for skolebørn er der kun opgaver med de rigtige tal i basen. Derfor vil vi kun tale om dem.

Regulær trekant

Det er ligesidet. En, hvor alle sider er ens og betegnet med bogstavet "a". I dette tilfælde beregnes arealet af bunden af pyramiden med formlen:

S=(a2√3) / 4.

Square

Formlen til at beregne dens areal er den enkleste,her er "a" siden igen:

S=a2.

Vilkårlig regulær n-gon

Siden af en polygon har samme betegnelse. For antallet af hjørner bruges det latinske bogstav n.

S=(na2) / (4tg (180º/n)).

Hvordan beregnes later alt og samlet overfladeareal?

Da grundfladen er en regulær figur, er alle sider af pyramiden lige store. Desuden er hver af dem en ligebenet trekant, da sidekanterne er lige store. Derefter, for at beregne det laterale område af pyramiden, har du brug for en formel bestående af summen af identiske monomialer. Antallet af led bestemmes af antallet af sider af basen.

Arealet af en ligebenet trekant beregnes ved formlen, hvor halvdelen af produktet af basen ganges med højden. Denne højde i pyramiden kaldes apotem. Dens betegnelse er "A". Den generelle formel for lateral overfladeareal er:

S=½ PA, hvor P er omkredsen af bunden af pyramiden.

Der er situationer, hvor siderne af basen ikke kendes, men sidekanterne (c) og den flade vinkel ved dets toppunkt (α) er givet. Så er det meningen, at man skal bruge denne formel til at beregne sidearealet af pyramiden:

S=n/2in2 sin α.

Problem 1

Tilstand. Find det samlede areal af pyramiden, hvis dens base er en ligesidet trekant med en side på 4 cm, og apotemet er √3 cm.

Beslutning. HansDu skal starte med at beregne omkredsen af basen. Da dette er en regulær trekant, så P \u003d 34 \u003d 12 cm. Da apotemet er kendt, kan du straks beregne arealet af hele sidefladen: ½12√3=6 √3 cm 2.

For en trekant ved bunden får du følgende arealværdi: (4²√3) / 4=4√3 cm^2.

For at bestemme det samlede areal skal du tilføje de to resulterende værdier: 6√3 + 4√3=10√3 cm2.

Svar. 10√3cm2.

Problem 2

Tilstand. Der er en regulær firkantet pyramide. Længden af siden af basen er 7 mm, sidekanten er 16 mm. Du skal kende dens overfladeareal.

Beslutning. Da polyederet er firkantet og regelmæssigt, så er dets base en firkant. Efter at have lært områderne af base- og sidefladerne, vil det være muligt at beregne arealet af pyramiden. Formlen for kvadratet er givet ovenfor. Og ved sidefladerne kendes alle sider af trekanten. Derfor kan du bruge Herons formel til at beregne deres arealer.

De første beregninger er enkle og fører til dette tal: 49 mm². For den anden værdi skal du beregne semi-perimeteren: (7 + 162): 2=19,5 mm. Nu kan du beregne arealet af en ligebenet trekant: √(19,5(19,5-7)(19,5-16)²)=√2985,9375=54,644 mm ^{2. Der er kun fire sådanne trekanter, så når du beregner det endelige tal, skal du gange det med 4.}

Det viser sig: 49 + 454, 644=267, 576 mm2.

Svar. Ønskeværdi 267.576mm2.

Problem 3

Tilstand. For en almindelig firkantet pyramide skal du beregne arealet. Den kender siden af firkanten - 6 cm og højden - 4 cm.

Beslutning. Den nemmeste måde er at bruge formlen med produktet af omkredsen og apotemet. Den første værdi er let at finde. Det andet er lidt sværere.

Vi bliver nødt til at huske Pythagoras sætning og overveje en retvinklet trekant. Det er dannet af højden af pyramiden og apotemet, som er hypotenusen. Det andet ben er lig med halvdelen af kvadratets side, da polyederens højde falder ind i midten.

Den ønskede apotem (hypotenusen i en retvinklet trekant) er √(3² + 4^{2)=5 (cm).}

Nu kan du beregne den nødvendige værdi: ½(46)5+6²=96 (se^2).

Svar. 96 cm2.

Problem 4

Tilstand. Givet en regulær sekskantet pyramide. Siderne af dens base er 22 mm, sideribberne er 61 mm. Hvad er det laterale overfladeareal af dette polyeder?

Beslutning. Begrundelsen i den er den samme som beskrevet i opgave nr. 2. Kun der blev givet en pyramide med en firkant i bunden, og nu er den en sekskant.

Først og fremmest beregnes arealet af basen ved hjælp af ovenstående formel: (622²) / (4tg (180º/6))=726/(tg30º)=726 √3 cm^2.

Nu skal du finde ud af halvperimeteren af en ligebenet trekant, som er sidefladen. (22 + 612): 2 \u003d 72 cm. Det er tilbage at beregne arealet af strand sådantrekant, og gang den derefter med seks og læg den til den, der blev til grunden.

Beregning efter Herons formel: √(72(72-22)(72-61)²)=√435600=660 cm² . Beregninger, der vil give det laterale overfladeareal: 6606=3960 cm². Det er tilbage at lægge dem sammen for at finde ud af hele overfladen: 5217, 47≈5217 cm^2.

Svar. Base - 726√3cm², sideflade - 3960cm², samlet areal - 5217cm^2.