En af de grundlæggende dele af matematisk analyse er integralregning. Det dækker det bredeste felt af objekter, hvor det første er det ubestemte integral. Det er værd at placere det som en nøgle, der selv i gymnasiet afslører et stigende antal perspektiver og muligheder, som højere matematik beskriver.
Udseende
Ved første øjekast virker integralet fuldstændig moderne, relevant, men i praksis viser det sig, at det dukkede op allerede i 1800 f. Kr. Egypten betragtes officielt som hjemlandet, da tidligere beviser for dets eksistens ikke har nået os. Han, på grund af mangel på information, var al denne tid blot placeret som et fænomen. Han bekræftede endnu en gang niveauet for udvikling af videnskab blandt folkene på den tid. Endelig blev der fundet værker af antikke græske matematikere, der går tilbage til det 4. århundrede f. Kr. De beskrev en metode, hvor et ubestemt integral blev brugt, hvis essens var at finde volumen eller arealet af en kurvelineær figur (tredimensionelog todimensionelle planer). Beregningsprincippet var baseret på at opdele den oprindelige figur i uendelig lille komponenter, forudsat at deres volumen (areal) allerede er kendt. Over tid er metoden vokset, Archimedes brugte den til at finde arealet af en parabel. Lignende beregninger blev udført på samme tid af videnskabsmænd i det gamle Kina, og de var fuldstændig uafhængige af deres græske modstykker inden for videnskab.
Udvikling
Det næste gennembrud i det 11. århundrede e. Kr. var arbejdet udført af den arabiske videnskabsmand-"universelle" Abu Ali al-Basri, som rykkede grænserne for, hvad der allerede var kendt, ved at udlede formler baseret på integralet til beregning af summerne rækker og summen af potenser fra den første til den fjerde, idet vi her anvender den matematiske induktionsmetode, vi kender.
Sindene i moderne tid beundrer, hvordan de gamle egyptere skabte fantastiske arkitektoniske monumenter uden nogen specielle anordninger, undtagen måske deres hænder, men er kraften i sindet hos den tids videnskabsmænd ikke mindre et mirakel? Sammenlignet med i dag virker deres liv næsten primitivt, men løsningen af ubestemte integraler blev afledt over alt og brugt i praksis til videre udvikling.
Det næste skridt fandt sted i det 16. århundrede, da den italienske matematiker Cavalieri udviklede metoden med udelelige, som blev opfanget af Pierre Fermat. Det var disse to personligheder, der lagde grunden til den moderne integralregning, som er kendt i øjeblikket. De forbandt begreberne differentiering og integration, som tidligere varbehandles som selvstændige enheder. I det store og hele var matematikken fra dengang fragmenteret, konklusionspartiklerne eksisterede alene og havde et begrænset omfang. Vejen til forening og søgen efter fælles grundlag var den eneste sande på det tidspunkt, takket være hvilken moderne matematisk analyse fik mulighed for at vokse og udvikle sig.
Alt har ændret sig over tid, inklusive notationen af integralet. I det store og hele betegnede videnskabsmænd det med alle midler, for eksempel brugte Newton et firkantet ikon, hvori han placerede en integrerbar funktion eller blot satte den ved siden af.
Denne inkonsekvens fortsatte indtil det 17. århundrede, hvor videnskabsmanden Gottfried Leibniz, et vartegn for hele teorien om matematisk analyse, introducerede symbolet, der var så velkendt for os. Det aflange "S" er faktisk baseret på dette bogstav i det latinske alfabet, da det angiver summen af antiderivater. Integralet fik sit navn takket være Jacob Bernoulli 15 år senere.
Formel definition
Det ubestemte integral afhænger direkte af definitionen af antiderivatet, så lad os overveje det først.
En antiderivativ er en funktion, der er den inverse af en afledt, i praksis kaldes den også primitiv. Ellers: antiafledningen af en funktion d er en funktion D, hvis afledede er lig med v V'=v. Søgningen efter antiderivatet er beregningen af det ubestemte integral, og selve denne proces kaldes integration.
Eksempel:
Funktion s(y)=y3, og dens antiderivative S(y)=(y4/4).
Mættet af alle antiderivater af den betragtede funktion er det ubestemte integral, det er angivet som følger: ∫v(x)dx.
På grund af det faktum, at V(x) kun er en antiafledning af den oprindelige funktion, finder udtrykket sted: ∫v(x)dx=V(x) + C, hvor C er en konstant. En vilkårlig konstant er enhver konstant, da dens afledte er lig med nul.
Properties
De egenskaber, som det ubestemte integral har, er baseret på hoveddefinitionen og egenskaberne for derivater.
Lad os se på hovedpunkterne:
- integralet fra den afledede af antiderivatet er selve antiderivatet plus en vilkårlig konstant С ∫V'(x)dx=V(x) + C;
- den afledede af funktionsintegralet er den oprindelige funktion (∫v(x)dx)'=v(x);
- konstant er taget ud under integr altegnet ∫kv(x)dx=k∫v(x)dx, hvor k er vilkårlig;
- integralet taget fra summen er identisk lig med summen af integralerne ∫(v(y) + w(y))dy=∫v(y)dy +∫w(y)dy.
Fra de sidste to egenskaber kan vi konkludere, at det ubestemte integral er lineært. Takket være dette har vi: ∫(kv(y)dy +∫ lw(y))dy=k∫v(y)dy + l∫w(y)dy.
For at konsolidere, overvej eksempler på løsning af ubestemte integraler.
Det er nødvendigt at finde integralet ∫(3sinx + 4cosx)dx:
∫(3sinx + 4cosx)dx=∫3sinxdx + ∫4cosxdx=3∫sinxdx + 4∫cosxdx=3(-cosx) + 4sinx + C=4sinx - 3cosx + C
Fra eksemplet kan vi konkludere:ved ikke, hvordan man løser ubestemte integraler? Bare find alle de primitiver! Men principperne for søgningen vil blive overvejet nedenfor.
Metoder og eksempler
For at løse integralet kan du ty til følgende metoder:
- brug det forberedte bord;
- integrer efter dele;
- integrer ved at ændre variablen;
- bringing under differenti altegnet.
Borde
Den nemmeste og mest underholdende måde. I øjeblikket kan matematisk analyse prale af ret omfattende tabeller, hvori de grundlæggende formler for ubestemte integraler er skrevet. Med andre ord er der skabeloner, der er blevet udviklet før dig, og for dig er det kun at bruge dem. Her er en liste over de vigtigste tabelpositioner, som du kan udlede næsten alle eksempler, der har en løsning:
- ∫0dy=C, hvor C er en konstant;
- ∫dy=y + C, hvor C er en konstant;
- ∫y dy=(yn+1) / (n + 1) + C, hvor C er en konstant og n - ikke-et nummer;
- ∫(1/y)dy=ln|y| + C, hvor C er en konstant;
- ∫eydy=ey + C, hvor C er en konstant;
- ∫kydy=(ky/ln k) + C, hvor C er en konstant;
- ∫cosydy=siny + C, hvor C er en konstant;
- ∫sinydy=-hyggelig + C, hvor C er en konstant;
- ∫dy/cos2y=tgy + C, hvor C er en konstant;
- ∫dy/sin2y=-ctgy + C, hvor C er en konstant;
- ∫dy/(1 + y2)=arctgy + C, hvor C er en konstant;
- ∫chydy=genert + C, hvor C -konstant;
- ∫shydy=chy + C, hvor C er en konstant.
Om nødvendigt, tag et par trin, bring integranden til en tabelform og nyd sejren. Eksempel: ∫cos(5x -2)dx=1/5∫cos(5x - 2)d(5x - 2)=1/5 x sin(5x - 2) + C.
Ifølge løsningen er det tydeligt, at for tabeleksemplet mangler integranden en faktor på 5. Vi lægger den sammen og multiplicerer den med 1/5 parallelt, så det generelle udtryk ikke ændres.
Integration efter dele
Overvej to funktioner - z(y) og x(y). De skal kontinuerligt kunne differentieres over hele definitionsdomænet. Ifølge en af differentieringsegenskaberne har vi: d(xz)=xdz + zdx. Ved at integrere begge dele af ligningen får vi: ∫d(xz)=∫(xdz + zdx)=> zx=∫zdx + ∫xdz.
Når vi omskriver den resulterende lighed, får vi en formel, der beskriver integrationsmetoden efter dele: ∫zdx=zx - ∫xdz.
Hvorfor er det nødvendigt? Pointen er, at nogle eksempler kan forenkles, betinget set, reducere ∫zdx til ∫xdz, hvis sidstnævnte er tæt på tabelform. Denne formel kan også anvendes mere end én gang for at opnå optimale resultater.
Sådan løses ubestemte integraler på denne måde:
behov for at beregne ∫(s + 1)e2sds
∫(x + 1)e2sds={z=s+1, dz=ds, y=1/2e2s, dy=e2xds}=((s+1)e2s) / 2-1/2∫e2s dx=((s+1)e2s) / 2-e2s/4+ C;
behov for at beregne ∫lnsds
∫lnsds={z=lns, dz=ds/s, y=s, dy=ds}=slns - ∫s x ds/s=slns - ∫ds=slns -s + C=s(lns -1) + C.
Variabel substitution
Dette princip om at løse ubestemte integraler er ikke mindre efterspurgt end de to foregående, selvom det er mere kompliceret. Metoden er som følger: lad V(x) være integralet af en eller anden funktion v(x). I tilfælde af at selve integralet i eksemplet fremstår som komplekst, er der stor sandsynlighed for at blive forvirret og gå den forkerte vej til løsningen. For at undgå dette praktiseres overgangen fra variablen x til z, hvor det generelle udtryk forenkles visuelt, samtidig med at afhængigheden af z på x bevares.
Matematisk ser det sådan ud: ∫v(x)dx=∫v(y(z))y'(z)dz=V(z)=V(y-1(x)), hvor x=y(z) er en substitution. Og selvfølgelig beskriver den omvendte funktion z=y-1(x) fuldt ud variables afhængighed og sammenhæng. Vigtig bemærkning - differentialet dx erstattes nødvendigvis af en ny differential dz, da udskiftningen af en variabel i det ubestemte integral indebærer dens udskiftning over alt, og ikke kun i integranden.
Eksempel:
need to find ∫(s + 1) / (s2 + 2s - 5)ds
Anvend erstatningen z=(s+1)/(s2+2s-5). Derefter dz=2sds=2+2(s+1)ds (s+1)ds=dz/2. Som et resultat får vi følgende udtryk, som er meget let at beregne:
∫(s+1)/(s2+2s-5)ds=∫(dz/2)/z=1/2ln|z|+C=1/2ln|s2+2s-5|+C;
behov for at finde integralet∫2sesdx
For at løse det, omskriver vi udtrykket i følgende form:
∫2sesds=∫(2e)sds.
Betegn med a=2e (dette trin er ikke en erstatning for argumentet, det er stadig s), vi bringer vores tilsyneladende komplekse integral til en elementær tabelform:
∫(2e)sds=∫asds=as / lna + C=(2e)s / ln(2e) + C=2ses / ln(2 + lne) + C=2ses / (ln2 + 1) + C.
Bringing under differenti altegnet
I det store hele er denne metode med ubestemte integraler en tvillingebror til princippet om variabel ændring, men der er forskelle i designprocessen. Lad os se nærmere.
Hvis ∫v(x)dx=V(x) + C og y=z(x), så er ∫v(y)dy=V(y) + C.
I dette tilfælde bør man ikke glemme de trivielle integr altransformationer, blandt hvilke:
- dx=d(x + a), hvor a er en hvilken som helst konstant;
- dx=(1 / a)d(ax + b), hvor a igen er en konstant, men ikke lig med nul;
- xdx=1/2d(x2 + b);
- sinxdx=-d(cosx);
- cosxdx=d(sinx).
Hvis vi betragter det generelle tilfælde, når vi beregner det ubestemte integral, kan eksempler opsummeres under den generelle formel w'(x)dx=dw(x).
Eksempler:
need to find ∫(2s + 3)2ds, ds=1/2d(2s + 3)
∫(2s + 3)2ds=1/2∫(2s + 3)2d(2s + 3)=(1/2) x ((2s +3)2) / 3 + C=(1/6) x (2s + 3)2 + C;
∫tgsds=∫sins/cossds=∫d(coss)/coss=-ln|coss| + C.
onlinehjælp
I nogle tilfælde, hvis fejl kan være enten dovenskab eller et presserende behov, kan du bruge online tips, eller rettere, bruge den ubestemte integralberegner. På trods af al den tilsyneladende kompleksitet og diskutabilitet af integraler, er deres løsning underlagt en vis algoritme, som er baseret på princippet "hvis ikke …, så …".
Selvfølgelig vil en sådan lommeregner ikke mestre særligt indviklede eksempler, da der er tilfælde, hvor løsningen skal findes kunstigt, "tvangsmæssigt" ved at indføre visse elementer i processen, fordi resultatet ikke kan opnås i indlysende måder. På trods af al kontroversen i dette udsagn er det sandt, da matematik i princippet er en abstrakt videnskab og anser behovet for at udvide mulighedernes grænser som sin primære opgave. Det er faktisk ekstremt svært at rykke op og udvikle sig efter glatte, indkørte teorier, så du skal ikke gå ud fra, at de eksempler på løsning af ubestemte integraler, som vi har givet, er højden af muligheder. Men tilbage til den tekniske side af tingene. I det mindste for at kontrollere beregningerne kan du bruge de tjenester, hvor alt blev skrevet før os. Hvis der er behov for automatisk beregning af et komplekst udtryk, så kan de ikke undværes, du bliver nødt til at ty til mere seriøs software. Det er værd først og fremmest at være opmærksom på MatLab-miljøet.
Application
Løsningen med ubestemte integraler virker ved første øjekast fuldstændig ude af kontakt med virkeligheden, da det er svært at se de åbenlyse anvendelsesområder. De kan faktisk ikke bruges direkte over alt, men de betragtes som et nødvendigt mellemelement i processen med at udlede løsninger, der bruges i praksis. Så integration er omvendt til differentiering, på grund af hvilken den deltager aktivt i processen med at løse ligninger.
Til gengæld har disse ligninger en direkte indflydelse på løsningen af mekaniske problemer, beregningen af baner og termisk ledningsevne - kort sagt alt, der udgør nutiden og former fremtiden. Det ubestemte integral, som vi har undersøgt eksempler på ovenfor, er kun trivielt ved første øjekast, eftersom det er grundlaget for at gøre flere og flere nye opdagelser.
