Talrækken og dens grænse har været et af de vigtigste problemer i matematik gennem denne videnskabs historie. Konstant opdateret viden, formulerede nye teoremer og beviser - alt dette giver os mulighed for at betragte dette koncept fra nye positioner og fra forskellige vinkler.
En talrække, i overensstemmelse med en af de mest almindelige definitioner, er en matematisk funktion, hvis basis er mængden af naturlige tal arrangeret efter et eller andet mønster.
Denne funktion kan betragtes som defineret, hvis loven er kendt, ifølge hvilken et reelt tal klart kan defineres for hvert naturligt tal.
Der er flere muligheder for at oprette talsekvenser.
For det første kan denne funktion defineres på den såkaldte "eksplicitte" måde, når der er en bestemt formel, ved hvilken hvert af dets medlemmer kan bestemmesved simpel udskiftning af serienummeret i den givne rækkefølge.
Den anden metode kaldes "tilbagevendende". Dens essens ligger i det faktum, at de første par medlemmer af den numeriske sekvens er givet, samt en speciel rekursiv formel, ved hjælp af hvilken du, ved at kende det forrige medlem, kan finde det næste.
Endelig er den mest generelle måde at specificere sekvenser på den såkaldte "analytiske metode", hvor man uden større besvær ikke kun kan identificere et eller andet udtryk under et bestemt løbenummer, men også ved at kende flere på hinanden følgende udtryk, kommer til den generelle formel for en given funktion.
Nummersekvensen kan være faldende eller stigende. I det første tilfælde er hvert efterfølgende led mindre end det foregående, og i det andet tilfælde er det tværtimod større.
Med tanke på dette emne er det umuligt ikke at berøre spørgsmålet om sekvensernes grænser. Grænsen for en sekvens er et sådant tal, når der for en hvilken som helst værdi, inklusive en infinitesimal, er et serienummer, hvorefter afvigelsen af successive medlemmer af sekvensen fra et givet punkt i numerisk form bliver mindre end den værdi, der er angivet under dannelsen af denne funktion.
Begrebet grænsen for en numerisk sekvens bruges aktivt, når der udføres visse integral- og differentialberegninger.
Matematiske sekvenser har et helt sæt ret interessanteejendomme.
For det første er enhver numerisk sekvens et eksempel på en matematisk funktion, derfor kan de egenskaber, der er karakteristiske for funktioner, sikkert anvendes på sekvenser. Det mest slående eksempel på sådanne egenskaber er bestemmelsen om stigende og faldende aritmetiske rækker, som er forenet af et fælles koncept - monotone sekvenser.
For det andet er der en ret stor gruppe af sekvenser, der ikke kan klassificeres som hverken stigende eller faldende - det er periodiske sekvenser. I matematik anses de for at være de funktioner, hvor der er en såkaldt periodelængde, det vil sige fra et bestemt tidspunkt (n), begynder følgende lighed at virke y =yn+T, hvor T vil være selve længden af perioden.
