Denne artikel vil forklare Black-Scholes-formlen i enkle vendinger. Black-Scholes-modellen er en matematisk model for dynamikken i et finansielt marked, der indeholder afledte investeringsinstrumenter.
Fra den partielle differentialligning i modellen (kendt som Black-Scholes-ligningen), kan Black-Scholes-formlen udledes. Det giver en teoretisk optionspris i europæisk stil og viser, at optionen har en unik pris uanset værdipapirets risiko og dets forventede afkast (i stedet for at erstatte værdipapirets forventede afkast med en risikoneutral kurs).
Formlen førte til et boom i handel med optioner og gav matematisk legitimitet til Chicago Board Options Exchange og andre optionsmarkeder rundt om i verden. Det er meget udbredt, omend ofte med justeringer og rettelser, af optioner markedsdeltagere. På billederne i denne artikel kan du se eksempler på Black-Scholes-formlen.
Historie og essens
Baseret på arbejde, der tidligere er udviklet af forskere og praktikeremarkeder som Louis Bachelier, Sheen Kassouf og Ed Thorpe, Fisher Black og Myron Scholes i slutningen af 1960'erne viste, at dynamisk porteføljerevision eliminerede det forventede afkast af sikkerhed.
I 1970, efter at de forsøgte at anvende formlen på markederne og led økonomiske tab på grund af manglen på risikostyring i deres erhverv, besluttede de at fokusere på deres felt, den akademiske verden. Efter tre års indsats blev formlen, opkaldt efter deres promulgation, endelig offentliggjort i 1973 i en artikel med titlen "Pricing Options and Corporate Bonds" i Journal of Political Economy. Robert S. Merton var den første til at udgive et papir, der udvidede den matematiske forståelse af option prismodellen og opfandt udtrykket "Black-Scholes prismodel".
For deres arbejde modtog Merton og Scholes Nobels mindepris i økonomi i 1997, og citerede deres opdagelse af risikouafhængig dynamisk revision som et gennembrud, der adskiller mulighed fra underliggende sikkerhedsrisiko. Selvom han ikke modtog prisen på grund af sin død i 1995, blev Black nævnt af en svensk akademiker som deltager. På billedet nedenfor kan du se en typisk Black-Scholes-formel.
Options
Hovedidéen med denne model er at afdække en option ved korrekt at købe og sælge det underliggende aktiv og som et resultat eliminere risikoen. Denne form for afdækning kaldes "konstant opdateret deltaafdækning". Haner grundlaget for mere komplekse strategier som dem, der bruges af investeringsbanker og hedgefonde.
Risikostyring
Antagelserne i modellen er blevet lempet og generaliseret i mange retninger, hvilket har resulteret i en række forskellige modeller, der i øjeblikket anvendes til prisfastsættelse af derivater og risikostyring. Det er forståelsen af modellen, som vist i Black-Scholes formlen, der ofte bruges af markedsdeltagere i modsætning til faktiske priser. Disse detaljer inkluderer ingen arbitragegrænser og risikoneutral prissætning (på grund af konstant gennemgang). Derudover gør Black-Scholes-ligningen, den partielle differentialligning, der bestemmer prisen på en option, det muligt at bestemme priser numerisk, når en eksplicit formel ikke er mulig.
Volatilitet
Black-Scholes-formlen har kun én parameter, der ikke kan observeres direkte på markedet: den gennemsnitlige fremtidige volatilitet af det underliggende aktiv, selvom den kan findes til prisen for andre optioner. Efterhånden som værdien af en parameter (uanset om den er sat eller kald) stiger i den parameter, kan den inverteres for at producere en "volatilitetsoverflade", som derefter bruges til at kalibrere andre mønstre, såsom OTC-derivater.
Med disse antagelser i tankerne, antag, at dette marked også handler med derivater. Vi angiver, at dette værdipapir vil have en vis udbetaling på en bestemt dato i fremtiden, afhængigt af den værdi, som aktien antager.før denne dato. Overraskende nok er prisen på derivatet nu fuldstændig bestemt, selvom vi ikke ved, hvilken vej aktiekursen vil tage i fremtiden.
For et særligt tilfælde af en europæisk købs- eller put-option viste Black og Scholes, at det var muligt at skabe en afdækket position bestående af en lang position i en aktie og en kort position i en option, hvis værdi vil ikke afhænge af aktiekursen. Deres dynamiske afdækningsstrategi resulterede i en delvis differentialligning, der bestemte prisen på optionen. Dens løsning er givet af Black-Scholes-formlen.
Forskel mellem vilkår
Black-Scholes-formlen for excel kan fortolkes ved først at opdele call-optionen i forskellen mellem to binære optioner. En call-option ombytter kontanter til et aktiv ved udløb, mens et call-aktiv med eller uden et aktiv blot giver et aktiv (ingen kontanter i bytte), og et kontantløst opkald returnerer simpelthen pengene (ingen udveksling af aktiv)). Black-Scholes-formlen for en option er forskellen på to led, og disse to udtryk er lig med værdien af de binære købsoptioner. Disse binære optioner handles meget sjældnere end vaniljeoptioner, men er nemmere at analysere.
I praksis forkortes nogle følsomhedsværdier norm alt for at passe til skalaen for sandsynlige parameterændringer. For eksempel rapporteres ofte rho divideret med 10000 (ændring med 1 basispoint), vega med 100 (ændring med 1 volumenpoint) og theta med 365.eller 252 (1-dags træk baseret på enten kalenderdage eller handelsdage om året).
Ovenstående model kan udvides til variable (men deterministiske) kurser og volatilitet. Modellen kan også bruges til at værdiansætte europæiske muligheder for udbyttebetalingsinstrumenter. I dette tilfælde er lukkede løsninger tilgængelige, hvis udbyttet er en kendt andel af aktiekursen. Amerikanske optioner og aktieoptioner, der udbetaler et kendt kontantudbytte (mere realistisk end et forholdsmæssigt udbytte på kort sigt), er sværere at værdiansætte, og et valg af løsningsmetoder (f.eks. gitter og gitter) er tilgængelige.
Approach
Nyttig tilnærmelse: Selvom volatiliteten ikke er konstant, hjælper modelresultater ofte med at sætte hedging i de rigtige proportioner for at minimere risikoen. Selvom resultaterne ikke er helt nøjagtige, tjener de som en første tilnærmelse, som der kan foretages justeringer af.
Grundlæggende for bedre modeller: Black-Scholes-modellen er robust i den forstand, at den kan justeres til at klare nogle af dens fejl. I stedet for at behandle nogle parametre (såsom volatilitet eller renter) som konstanter, behandler vi dem som variable og tilføjer dermed kilder til risiko.
Dette afspejles i grækerne (ændring af optionsværdien for at ændre disse parametre eller svarende til de partielle afledte med hensyn til disse variabler) og afdækning af disse grækerereducerer risikoen forårsaget af disse parametres variable karakter. Andre defekter kan dog ikke elimineres ved at ændre modellen, især halerisiko og likviditetsrisiko, og i stedet styres de uden for modellen, primært ved at minimere disse risici og stresstest.
Eksplicit modellering
Eksplicit modellering: Denne funktion betyder, at i stedet for at antage volatilitet a priori og beregne priser ud fra det, kan du bruge en model til at bestemme volatilitet, der giver optionens underforståede volatilitet til givne priser, tidspunkter og strike-priser. Ved at løse volatilitet over et givet sæt af strejkevarigheder og -priser kan en underforstået volatilitetsoverflade konstrueres.
I denne anvendelse af Black-Scholes-modellen opnås en transformation af koordinater fra prisområdet til volatilitetsområdet. I stedet for at angive optionspriser i dollars pr. enhed (som er svære at sammenligne baseret på strejker, varigheder og kuponfrekvenser), kan optionspriserne angives i form af implicit volatilitet, hvilket fører til volatilitetshandel på optionsmarkederne.
