I matematik og behandling er konceptet med et analytisk signal (for kort - C, AC) en kompleks funktion, der ikke har negative frekvenskomponenter. De virkelige og imaginære dele af dette fænomen er virkelige funktioner relateret til hinanden ved Hilbert-transformationen. Et analytisk signal er et ret almindeligt fænomen i kemi, hvis essens ligner den matematiske definition af dette begreb.
Performances
Analytisk repræsentation af en reel funktion er et analytisk signal, der indeholder den oprindelige funktion og dens Hilbert-transformation. Denne repræsentation letter mange matematiske manipulationer. Hovedideen er, at de negative frekvenskomponenter af Fourier-transformationen (eller -spektret) af en reel funktion er overflødige på grund af den hermitiske symmetri af et sådant spektrum. Disse negative frekvenskomponenter kan kasseres udentab af information, forudsat at du i stedet ønsker at beskæftige dig med en kompleks funktion. Dette gør visse funktionsattributter mere tilgængelige og gør det lettere at udlede modulerings- og demodulationsteknikker såsom SSB.
Negative komponenter
Så længe den funktion, der manipuleres, ikke har nogen negative frekvenskomponenter (dvs. den stadig er analytisk), er konvertering fra kompleks tilbage til reel blot et spørgsmål om at kassere den imaginære del. Den analytiske repræsentation er en generalisering af begrebet en vektor: mens en vektor er begrænset til en tidsinvariant amplitude, fase og frekvens, giver en kvalitativ analyse af et analytisk signal mulighed for tidsvarierende parametre.
Øjeblikkelig amplitude, øjeblikkelig fase og frekvens bruges i nogle applikationer til at måle og detektere lokale træk ved C. En anden anvendelse af den analytiske repræsentation vedrører demodulation af modulerede signaler. Polære koordinater adskiller bekvemt virkningerne af AM- og fase- (eller frekvens-) modulering og demodulerer effektivt visse typer.
Så kan et simpelt lavpasfilter med reelle koefficienter afskære den del af interesse. Et andet motiv er at sænke den maksimale frekvens, hvilket sænker minimumsfrekvensen for ikke-alias sampling. Frekvensskiftet underminerer ikke den matematiske anvendelighed af repræsentationen. I denne forstand er nedkonverteret således stadig analytisk. Men restaureringen af den virkelige repræsentationer ikke længere et simpelt spørgsmål om blot at udtrække den rigtige komponent. Opkonvertering kan være påkrævet, og hvis signalet samples (diskret tid), kan interpolation (upsampling) også være påkrævet for at undgå aliasing.
Variables
Begrebet er veldefineret for enkelte variable fænomener, hvilket norm alt er midlertidigt. Denne midlertidighed forvirrer mange begyndende matematikere. For to eller flere variable kan analytisk C defineres på forskellige måder, og to tilgange er præsenteret nedenfor.
De reelle og imaginære dele af dette fænomen svarer til to elementer af et vektor-værdisat monogent signal, som defineret for lignende fænomener med én variabel. Monogen kan dog udvides til et vilkårligt antal variable på en enkel måde, hvilket skaber en (n + 1)-dimensionel vektorfunktion for tilfældet med n-variable signaler.
Signalkonvertering
Du kan konvertere et reelt signal til et analytisk ved at tilføje en imaginær (Q) komponent, som er Hilbert-transformationen af den reelle komponent.
Dette er i øvrigt ikke nyt i dets digitale behandling. En af de traditionelle måder at generere enkelt sidebånd (SSB) AM, faseinddelingsmetoden, involverer at skabe signaler ved at generere en Hilbert-transformation af et lydsignal i et analogt modstand-kondensator-netværk. Da det kun har positive frekvenser, er det nemt at konvertere det til et moduleret RF-signal med kun ét sidebånd.
Definitionsformler
Analytisk signaludtryk er en holomorf kompleks funktion defineret på grænsen af det øvre komplekse halvplan. Grænsen for det øvre halvplan falder sammen med det tilfældige, så C er givet ved kortlægningen fa: R → C. Siden midten af forrige århundrede, hvor Denis Gabor i 1946 foreslog at bruge dette fænomen til at studere konstant amplitude og fase, har signalet fundet mange anvendelser. Det særlige ved dette fænomen blev understreget [Vak96], hvor det blev vist, at kun en kvalitativ analyse af det analytiske signal svarer til de fysiske betingelser for amplitude, fase og frekvens.
Seneste præstationer
I løbet af de sidste par årtier har der været en interesse for studiet af signal i mange dimensioner, motiveret af problemer, der opstår i felter lige fra billed-/videobehandling til multidimensionelle oscillerende processer i fysik, såsom seismiske, elektromagnetiske og gravitationsbølger. Det er generelt blevet accepteret, at for korrekt at generalisere analytisk C (kvalitativ analyse) til tilfældet med flere dimensioner, må man stole på en algebraisk konstruktion, der udvider de almindelige komplekse tal på en bekvem måde. Sådanne konstruktioner kaldes norm alt hyperkomplekse tal [SKE].
Endelig burde det være muligt at konstruere et hyperkomplekst analytisk signal fh: Rd → S, hvor et generelt hyperkomplekst algebraisk system er repræsenteret, som naturligvis udvider alle de nødvendige egenskaber for at opnå en øjeblikkelig amplitude ogfase.
Undersøgelse
En række artikler er afsat til forskellige spørgsmål relateret til det korrekte valg af det hyperkomplekse talsystem, definitionen af den hyperkomplekse Fourier-transformation og fraktionelle Hilbert-transformationer til at studere den øjeblikkelige amplitude og fase. Det meste af dette arbejde var baseret på egenskaber af forskellige rum såsom Cd, quaternions, Clearon algebraer og Cayley-Dixon konstruktioner.
Dernæst vil vi kun liste nogle af de værker, der er viet til studiet af signalet i mange dimensioner. Så vidt vi ved, blev de første værker om den multivariate metode opnået i begyndelsen af 1990'erne. Disse omfatter Ells arbejde [Ell92] om hyperkomplekse transformationer; Bulows arbejde med generaliseringen af metoden til analytisk reaktion (analytisk signal) til mange målinger [BS01] og Felsbergs og Sommers arbejde med monogene signaler.
Yderligere udsigter
Det hyperkomplekse signal forventes at udvide alle de nyttige egenskaber, vi har i 1D-tilfældet. Først og fremmest skal vi være i stand til at udtrække og generalisere den øjeblikkelige amplitude og fase til målingerne. For det andet opretholdes Fourier-spektret af et komplekst analytisk signal kun ved positive frekvenser, så vi forventer, at den hyperkomplekse Fourier-transformation har sit eget hypervurderede spektrum, som kun vil blive opretholdt i en positiv kvadrant af det hyperkomplekse rum. Fordi det er meget vigtigt.
For det tredje, konjuger dele af et komplekst konceptaf det analytiske signal er relateret til Hilbert-transformationen, og vi kan forvente, at de konjugerede komponenter i det hyperkomplekse rum også må være relateret til en eller anden kombination af Hilbert-transformationerne. Og endelig skal et hyperkomplekst signal faktisk defineres som en forlængelse af en hyperkompleks holomorf funktion af flere hyperkomplekse variable defineret på grænsen af en form i et hyperkomplekst rum.
Vi løser disse problemer i sekventiel rækkefølge. Først og fremmest starter vi med at se på Fourier-integralformlen og viser, at Hilbert-transformationen til 1-D er relateret til den modificerede Fourier-integralformel. Dette faktum giver os mulighed for at definere den øjeblikkelige amplitude, fase og frekvens uden nogen henvisning til hyperkomplekse talsystemer og holomorfe funktioner.
Ændring af integraler
Vi fortsætter med at udvide den modificerede Fourier-integralformel til flere dimensioner og bestemmer alle de nødvendige faseforskudte komponenter, som vi kan samle til øjeblikkelig amplitude og fase. For det andet vender vi os til spørgsmålet om eksistensen af holomorfe funktioner af flere hyperkomplekse variable. Efter [Sch93] viser det sig, at den kommutative og associative hyperkomplekse algebra genereret af et sæt elliptiske (e2i=−1) generatorer er et passende rum for et hyperkomplekst analytisk signal at leve, vi kalder en sådan hyperkompleks algebra for Schaefers-rummet og betegner detSd.
Derfor er hyperkomplekset af analytiske signaler defineret som en holomorf funktion på grænsen af polydisken / den øvre halvdel af planet i et eller andet hyperkomplekst rum, som vi kalder det generelle Schaefers-rum, og betegnet med Sd. Vi observerer derefter gyldigheden af Cauchy-integralformlen for funktionerne Sd → Sd, som beregnes over en hyperoverflade inde i en polydisk i Sd og udleder de tilsvarende fraktionelle Hilbert-transformationer, der relaterer de hyperkomplekse konjugerede komponenter. Endelig viser det sig, at Fourier-transformationen med værdier i Schaefers-rummet kun understøttes ved ikke-negative frekvenser. Takket være denne artikel har du lært, hvad der er et analytisk signal.
