At studere sandsynlighedsteorien begynder med at løse problemer med addition og multiplikation af sandsynligheder. Det er værd at nævne med det samme, at når man mestrer dette vidensfelt, kan en elev støde på et problem: hvis fysiske eller kemiske processer kan repræsenteres visuelt og forstås empirisk, så er niveauet af matematisk abstraktion meget højt, og forståelse her kommer kun med erfaring.
Spillet er dog lyset værd, fordi formlerne - både overvejet i denne artikel og mere komplekse - bruges over alt i dag og kan sagtens være nyttige i arbejdet.
Oprindelse
Mærkeligt nok var drivkraften til udviklingen af denne sektion af matematik … gambling. Faktisk er terninger, møntkast, poker, roulette typiske eksempler, der bruger addition og multiplikation af sandsynligheder. På eksemplet med opgaver i enhver lærebog kan dette tydeligt ses. Folk var interesserede i at lære at øge deres chancer for at vinde, og jeg må sige, at nogle lykkedes med dette.
For eksempel, allerede i det 21. århundrede, en person, hvis navn vi ikke vil oplyse,brugte denne viden opsamlet gennem århundreder til bogstaveligt t alt at "rense" kasinoet og vinde flere titusinder af dollars ved roulette.
På trods af den øgede interesse for faget var det dog først i det 20. århundrede, at der blev udviklet en teoretisk ramme, der gjorde "teorveren" til en fuldgyldig komponent i matematikken. I dag kan du i næsten enhver videnskab finde beregninger ved hjælp af sandsynlighedsmetoder.
Anvendelse
En vigtig pointe, når du bruger formler for addition og multiplikation af sandsynligheder, betinget sandsynlighed er tilfredsstillelsen af den centrale grænsesætning. Ellers vil alle beregninger, uanset hvor plausible de kan synes, være forkerte, selvom det måske ikke er indset af eleven.
Ja, den højt motiverede elev er fristet til at bruge ny viden ved enhver lejlighed. Men i dette tilfælde bør man sætte farten lidt ned og nøje skitsere anvendelsesområdet.
Sandsynlighedsteori beskæftiger sig med tilfældige hændelser, som i empiriske termer er resultaterne af eksperimenter: vi kan slå en sekssidet terning, trække et kort fra et spil, forudsige antallet af defekte dele i en batch. Men i nogle spørgsmål er det kategorisk umuligt at bruge formler fra dette afsnit af matematik. Vi vil diskutere funktionerne ved at overveje sandsynligheden for en begivenhed, sætningerne om addition og multiplikation af begivenheder i slutningen af artiklen, men lad os nu gå til eksempler.
Grundlæggende begreber
En tilfældig hændelse betyder en proces eller et resultat, der måske eller måske ikke visessom et resultat af forsøget. For eksempel smider vi en sandwich – den kan falde smør op eller smør ned. Hver af de to udfald vil være tilfældige, og vi ved ikke på forhånd, hvilket af dem der vil finde sted.
Når vi studerer addition og multiplikation af sandsynligheder, har vi brug for to begreber mere.
Fælles begivenheder er de begivenheder, hvor forekomsten af den ene ikke udelukker forekomsten af den anden. Lad os sige, at to personer skyder mod et mål på samme tid. Hvis en af dem affyrer et vellykket skud, vil det ikke påvirke den andens evne til at ramme eller misse.
Inkonsistente vil være sådanne begivenheder, hvis forekomst samtidig er umuligt. For eksempel, ved kun at trække én bold ud af boksen, kan du ikke få både blå og rød på én gang.
Betegnelse
Begrebet sandsynlighed er angivet med det latinske store bogstav P. Efterfølgende i parentes er argumenter, der angiver nogle begivenheder.
I formlerne for additionssætningen, betinget sandsynlighed, multiplikationssætning, vil du se udtryk i parentes, for eksempel: A+B, AB eller A|B. De vil blive beregnet på forskellige måder, vi vil nu henvende os til dem.
Addition
Lad os overveje tilfælde, hvor additions- og multiplikationsformler bruges.
For uforenelige hændelser er den enkleste additionsformel relevant: sandsynligheden for et hvilket som helst af de tilfældige udfald vil være lig med summen af sandsynligheden for hvert af disse udfald.
Antag, at der er en æske med 2 blå, 3 røde og 5 gule balloner. Der er i alt 10 varer i æsken. Hvad er procentdelen af sandheden af udsagnet om, at vi vil tegne en blå eller rød kugle? Det vil være lig med 2/10 + 3/10, dvs. halvtreds procent.
I tilfælde af uforenelige hændelser bliver formlen mere kompliceret, da der tilføjes et ekstra udtryk. Vi vender tilbage til det i et afsnit efter at have overvejet endnu en formel.
Multiplikation
Addition og multiplikation af sandsynligheder for uafhængige hændelser bruges i forskellige tilfælde. Hvis vi i henhold til forsøgets tilstand er tilfredse med et af de to mulige udfald, vil vi beregne summen; hvis vi ønsker at få to bestemte udfald efter hinanden, vil vi ty til at bruge en anden formel.
Vend tilbage til eksemplet fra forrige afsnit, vil vi først tegne den blå kugle og derefter den røde. Det første tal, vi kender, er 2/10. Hvad sker der nu? Der er 9 kugler tilbage, der er stadig det samme antal røde - tre stk. Ifølge beregningerne får du 3/9 eller 1/3. Men hvad skal man nu med to tal? Det rigtige svar er at gange for at få 2/30.
Fællesbegivenheder
Nu kan vi gense sumformlen for fælles arrangementer. Hvorfor går vi væk fra emnet? For at lære, hvordan sandsynligheder ganges. Nu vil denne viden komme til nytte.
Vi ved allerede, hvad de to første led vil være (det samme som i den tidligere nævnte additionsformel), nu skal vi trække fraproduktet af sandsynligheder, som vi lige har lært at beregne. For klarhedens skyld skriver vi formlen: P (A + B) u003d P (A) + P (B) - P (AB). Det viser sig, at både addition og multiplikation af sandsynligheder bruges i ét udtryk.
Lad os sige, at vi skal løse et af de to problemer for at få kredit. Vi kan løse den første med en sandsynlighed på 0,3 og den anden - 0,6 Løsning: 0,3 + 0,6 - 0,18=0,72 Bemærk, at det ikke er nok at summere tallene her.
Betinget sandsynlighed
Til sidst er der begrebet betinget sandsynlighed, hvis argumenter er angivet i parentes og adskilt af en lodret streg. Indtastningen P(A|B) lyder som følger: "sandsynlighed for hændelse A givet hændelse B".
Lad os se på et eksempel: en ven giver dig en enhed, lad det være en telefon. Det kan være ødelagt (20 %) eller godt (80 %). Du er i stand til at reparere enhver enhed, der falder i dine hænder, med en sandsynlighed på 0,4, eller du er ikke i stand til at gøre det (0,6). Endelig, hvis enheden fungerer, kan du nå den rigtige person med en sandsynlighed på 0,7.
Det er nemt at se, hvordan betinget sandsynlighed fungerer i dette tilfælde: du kan ikke komme igennem til en person, hvis telefonen er gået i stykker, og hvis den er god, behøver du ikke reparere den. For at få resultater på "andet niveau", skal du derfor vide, hvilken begivenhed der blev udført på den første.
Beregninger
Lad os overveje eksempler på løsning af problemer med addition og multiplikation af sandsynligheder ved at bruge dataene fra det foregående afsnit.
Først, lad os finde sandsynligheden for, at dureparere den enhed, du har fået. For at gøre dette skal det for det første være defekt, og for det andet skal du klare reparationen. Dette er et typisk multiplikationsproblem: vi får 0,20,4=0,08.
Hvad er sandsynligheden for, at du straks kommer igennem til den rigtige person? Nemmere end simpelt: 0,80,7=0,56. I dette tilfælde fandt du ud af, at telefonen fungerer, og du har foretaget et opkald.
Tænk endelig over dette scenarie: du modtog en ødelagt telefon, fiksede den og ringede til nummeret, og personen i den modsatte ende tog telefonen. Her er multiplikationen af tre komponenter allerede påkrævet: 0, 20, 40, 7=0, 056.
Og hvad hvis du har to ikke-fungerende telefoner på én gang? Hvor sandsynligt er det, at du reparerer mindst én af dem? Dette er et problem med addition og multiplikation af sandsynligheder, da fælles begivenheder bruges. Løsning: 0, 4 + 0, 4 - 0, 40, 4=0, 8 - 0, 16=0, 64.
Forsigtig brug
Som nævnt i begyndelsen af artiklen, bør brugen af sandsynlighedsteori være bevidst og bevidst.
Jo større rækken af eksperimenter er, jo tættere nærmer den teoretisk forudsagte værdi sig den praktiske. For eksempel kaster vi en mønt. Teoretisk set, ved at vide om eksistensen af formler for addition og multiplikation af sandsynligheder, kan vi forudsige, hvor mange gange hoveder og haler vil falde ud, hvis vi udfører eksperimentet 10 gange. Vi lavede et eksperiment ogTilfældigvis var forholdet mellem de faldede sider 3 til 7. Men hvis du udfører en serie på 100, 1000 eller flere forsøg, viser det sig, at fordelingsgrafen kommer tættere og tættere på den teoretiske: 44 til 56, 482 til 518 og så videre.
Forestil dig nu, at dette eksperiment ikke udføres med en mønt, men med produktionen af et nyt kemisk stof, hvis sandsynlighed vi ikke kender. Vi ville køre 10 eksperimenter, og hvis vi ikke fik et vellykket resultat, kunne vi generalisere: "stoffet kan ikke opnås." Men hvem ved, hvis vi gjorde det ellevte forsøg, ville vi så have nået målet eller ej?
Så hvis du skal ind i det ukendte, det uudforskede rige, gælder sandsynlighedsteorien muligvis ikke. Hvert efterfølgende forsøg i dette tilfælde kan være vellykket, og generaliseringer som "X findes ikke" eller "X er umuligt" vil være for tidlige.
Afslutningsord
Så vi har set på to typer addition, multiplikation og betingede sandsynligheder. Med yderligere undersøgelse af dette område er det nødvendigt at lære at skelne situationer, når hver specifik formel bruges. Derudover skal du forstå, om probabilistiske metoder generelt er anvendelige til at løse dit problem.
Hvis du øver dig, vil du efter et stykke tid begynde at udføre alle de nødvendige operationer udelukkende i dit sind. For dem, der er glade for kortspil, kan denne færdighed overvejesekstremt værdifuldt - du vil øge dine chancer for at vinde markant, blot ved at beregne sandsynligheden for, at et bestemt kort eller farve falder ud. Den erhvervede viden kan dog let anvendes på andre aktivitetsområder.
