I praksis opstår der ofte opgaver, der kræver evnen til at bygge sektioner af geometriske former af forskellige former og finde arealet af snit. I denne artikel vil vi se på, hvor vigtige dele af et prisme, en pyramide, en kegle og en cylinder er bygget, og hvordan man beregner deres arealer.
3D-figurer
Fra stereometri er det kendt, at en tredimensionel figur af absolut enhver type er begrænset af et antal overflader. For eksempel, for sådanne polyedre som et prisme og en pyramide, er disse overflader de polygonale sider. For en cylinder og en kegle taler vi om omdrejningsflader af cylindriske og koniske figurer.
Hvis vi tager et plan og vilkårligt skærer overfladen af en tredimensionel figur, får vi et snit. Dens areal er lig med arealet af den del af flyet, der vil være inde i figurens volumen. Minimumsværdien af dette område er nul, hvilket realiseres, når flyet rører figuren. For eksempel opnås en sektion, der er dannet af et enkelt punkt, hvis flyet passerer gennem toppen af en pyramide eller kegle. Den maksimale værdi af tværsnitsarealet afhænger affigurens og planets relative position samt figurens form og størrelse.
Nedenfor vil vi overveje, hvordan man beregner arealet af dannede sektioner for to omdrejningsfigurer (cylinder og kegle) og to polyedre (pyramide og prisme).
Cylinder
Cirkulær cylinder er en rotationsfigur af et rektangel omkring enhver af dets sider. Cylinderen er karakteriseret ved to lineære parametre: basisradius r og højde h. Diagrammet nedenfor viser, hvordan en cirkulær lige cylinder ser ud.
Der er tre vigtige sektionstyper for denne figur:
- runde;
- rektangulær;
- elliptisk.
Ellipseformet er dannet som et resultat af, at planet skærer figurens sideflade i en vinkel i forhold til dens basis. Rund er resultatet af skæringen af skæreplanet på sidefladen parallelt med cylinderens bund. Endelig opnås en rektangulær, hvis skæreplanet er parallelt med cylinderens akse.
Cirkulært areal beregnes ved hjælp af formlen:
S1=pir2
Arealet af det aksiale snit, dvs. rektangulært, som passerer gennem cylinderens akse, er defineret som følger:
S2=2rh
keglesektioner
En kegle er en rotationsfigur af en retvinklet trekant omkring et af benene. Keglen har én top og en rund base. Dens parametre er også radius r og højde h. Et eksempel på en papirkegle er vist nedenfor.
Der er flere typer keglesnit. Lad os liste dem:
- runde;
- elliptisk;
- parabolsk;
- hyperbolisk;
- triangular.
De erstatter hinanden, hvis du øger sekantplanets hældningsvinkel i forhold til den runde base. Den nemmeste måde er at nedskrive formlerne for tværsnitsarealet af cirkulært og trekantet.
Et cirkulært snit dannes som et resultat af skæringen af en konisk overflade med et plan, der er parallelt med bunden. For dets område er følgende formel gyldig:
S1=pir2z2/h 2
Her er z afstanden fra toppen af figuren til den dannede sektion. Det kan ses, at hvis z=0, så passerer planet kun gennem toppunktet, så arealet S1 vil være lig nul. Siden z < h vil arealet af det undersøgte afsnit altid være mindre end dets værdi for basen.
Trekantet opnås, når planet skærer figuren langs dens rotationsakse. Formen af den resulterende sektion vil være en ligebenet trekant, hvis sider er diameteren af basen og to generatorer af keglen. Hvordan finder man tværsnitsarealet af en trekantet? Svaret på dette spørgsmål vil være følgende formel:
S2=rh
Denne lighed opnås ved at anvende formlen for arealet af en vilkårlig trekant gennem længden af dens base og højde.
prismesektioner
Prisme er en stor klasse af figurer, der er kendetegnet ved tilstedeværelsen af to identiske polygonale baser parallelt med hinanden,forbundet med parallelogrammer. Enhver sektion af et prisme er en polygon. I lyset af mangfoldigheden af de betragtede figurer (skrå, lige, n-gonale, regelmæssige, konkave prismer), er variationen af deres sektioner også stor. Nedenfor behandler vi kun nogle særlige tilfælde.
Hvis skæreplanet er parallelt med basen, så vil tværsnitsarealet af prismet være lig med arealet af denne base.
Hvis planet passerer gennem de to basers geometriske centre, det vil sige, at det er parallelt med figurens sidekanter, så dannes der et parallelogram i snittet. I tilfælde af lige og regulære prismer vil det betragtede snitbillede være et rektangel.
Pyramid
Pyramid er et andet polyeder, der består af en n-gon og n trekanter. Et eksempel på en trekantet pyramide er vist nedenfor.
Hvis sektionen tegnes af et plan parallelt med den n-gonale base, så vil dens form være nøjagtigt lig med basens form. Arealet af et sådant afsnit beregnes med formlen:
S1=So(h-z)2/h 2
Hvor z er afstanden fra basen til sektionsplanet, er So arealet af basen.
Hvis skæreplanet indeholder toppen af pyramiden og skærer dens base, får vi et trekantet snit. For at beregne dens areal skal du henvise til brugen af den passende formel for en trekant.
