For at forstå, hvad yderpunkterne for en funktion er, er det slet ikke nødvendigt at vide om tilstedeværelsen af den første og anden afledte og forstå deres fysiske betydning. Først skal du forstå følgende:
- funktion ekstrema maksimere eller omvendt minimere værdien af funktionen i et vilkårligt lille kvarter;
- Der bør ikke være et funktionsbrud ved yderpunktet.
Og nu det samme, kun i almindeligt sprog. Se på spidsen af en kuglepen. Hvis pennen placeres lodret, med skriften ende op, så vil selve midten af bolden være det yderste punkt - det højeste punkt. I dette tilfælde taler vi om det maksimale. Nu, hvis du drejer pennen med skriveenden nedad, så vil der allerede i midten af bolden være et minimum af funktionen. Ved hjælp af figuren, der er givet her, kan du forestille dig de anførte manipulationer til en papirblyant. Så ekstrema af en funktion er altid kritiske punkter: dens maksima eller minima. Den tilstødende sektion af diagrammet kan være vilkårligt skarp eller glat, men den skal eksistere på begge sider, kun i dette tilfælde er punktet et ekstremum. Hvis diagrammet kun er til stede på den ene side, vil dette punkt ikke være et ekstremum, selvom det er på den ene sideekstreme betingelser er opfyldt. Lad os nu studere yderpunkterne af funktionen fra et videnskabeligt synspunkt. For at et punkt kan betragtes som et ekstremum, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at:
- den første afledte var lig med nul eller eksisterede ikke på punktet;
- den første afledte ændrede sit fortegn på dette tidspunkt.
Betingelsen fortolkes noget anderledes set fra højere ordens afledte synspunkter: for en funktion, der kan differentieres i et punkt, er det tilstrækkeligt, at der er en ulige ordens afledte, der ikke er lig med nul, mens alle lavere ordens afledte skal eksistere og være lig med nul. Dette er den enkleste fortolkning af teoremer fra lærebøger i højere matematik. Men for de mest almindelige mennesker er det værd at forklare dette punkt med et eksempel. Grundlaget er en almindelig parabel. Foretag straks en reservation, ved nulpunktet har den et minimum. Bare en lille smule matematik:
- første afledte (X2)|=2X, for nulpunkt 2X=0;
- anden afledt (2X)|=2, for nulpunkt 2=2.
Dette er en simpel illustration af de forhold, der bestemmer yderpunkterne for funktionen både for første-ordens afledte og højere-ordens afledte. Vi kan tilføje til dette, at den anden afledede er netop den samme afledede af en ulige orden, ulig med nul, som blev diskuteret lidt højere. Når det kommer til ekstrema af en funktion af to variable, skal betingelserne være opfyldt for begge argumenter. Hvornårgeneralisering forekommer, derefter anvendes partielle derivater. Det vil sige, at det er nødvendigt for tilstedeværelsen af et ekstremum på et punkt, hvor begge førsteordens derivater er lig med nul, eller i det mindste en af dem ikke eksisterer. For tilstrækkeligheden af tilstedeværelsen af et ekstremum undersøges et udtryk, som er forskellen mellem produktet af andenordens afledte og kvadratet af den blandede andenordens afledte af funktionen. Hvis dette udtryk er større end nul, er der et ekstremum, og hvis der er nul, forbliver spørgsmålet åbent, og der er behov for yderligere forskning.
