En cylinder er en af de simple tredimensionelle figurer, der studeres i skolens geometrikursus (afsnit solid geometri). I dette tilfælde opstår der ofte problemer med at beregne volumenet og massen af en cylinder, såvel som med at bestemme dens overfladeareal. Svar på de markerede spørgsmål er givet i denne artikel.
Hvad er en cylinder?
Før du går videre til svaret på spørgsmålet, hvad er cylinderens masse og dens volumen, er det værd at overveje, hvad denne rumlige figur er. Det skal straks bemærkes, at en cylinder er et tredimensionelt objekt. Det vil sige, i rummet kan du måle tre af dets parametre langs hver af akserne i et kartesisk rektangulært koordinatsystem. Faktisk er det nok kun at kende to af dens parametre for entydigt at bestemme dimensionerne af en cylinder.
Cylinder er en tredimensionel figur dannet af to cirkler og en cylindrisk overflade. For mere tydeligt at repræsentere dette objekt er det nok at tage et rektangel og begynde at rotere det rundt om nogen af dets sider, som vil være rotationsaksen. I dette tilfælde vil det roterende rektangel beskrive formenrotation - cylinder.
To runde overflader kaldes cylinderens bunde, de er kendetegnet ved en vis radius. Afstanden mellem baserne kaldes højden. De to baser er forbundet med en cylindrisk overflade. Linjen, der går gennem midten af begge cirkler, kaldes cylinderens akse.
Volumen og overfladeareal
Som du kan se fra ovenstående, er cylinderen defineret af to parametre: højden h og radius af dens base r. Ved at kende disse parametre er det muligt at beregne alle andre egenskaber ved den betragtede krop. Nedenfor er de vigtigste:
- Arealet af baserne. Denne værdi beregnes med formlen: S1=2pir2, hvor pi er pi lig med 3, 14. Ciffer 2 i formlen vises, fordi cylinderen har to identiske baser.
- Cylindrisk overfladeareal. Det kan beregnes således: S2=2pirh. Det er let at forstå denne formel: hvis en cylindrisk overflade skæres lodret fra en base til en anden og udvides, opnås et rektangel, hvis højde vil være lig med cylinderens højde, og bredden vil svare til omkredsen af bunden af den tredimensionelle figur. Da arealet af det resulterende rektangel er produktet af dets sider, som er lig med h og 2pir, opnås ovenstående formel.
- Cylinderoverfladeareal. Det er lig med summen af arealerne af S1 og S2, vi får: S3=S 1 + S2=2pir2 + 2pir h=2pi r(r+h).
- Bind. Denne værdi er let at finde, du skal bare gange arealet af en base med højden af figuren: V=(S1/2)h=pir 2 t.
Beregning af en cylinders masse
Endelig er det værd at gå direkte til artiklens emne. Hvordan bestemmes massen af en cylinder? For at gøre dette skal du kende dets volumen, formlen til beregning, som blev præsenteret ovenfor. Og tætheden af det stof, det består af. Massen bestemmes af en simpel formel: m=ρV, hvor ρ er tætheden af det materiale, der danner det pågældende objekt.
Begrebet tæthed karakteriserer massen af et stof, der er i en enhedsvolumen af rummet. For eksempel. Det er kendt, at jern har en højere densitet end træ. Det betyder, at i tilfælde af lige store mængder jern og træmateriale, vil førstnævnte have en meget større masse end sidstnævnte (ca. 16 gange).
Beregning af massen af en kobbercylinder
Overvej et simpelt problem. Det er nødvendigt at finde massen af en cylinder lavet af kobber. Lad for nøjagtighedens skyld cylinderen have en diameter på 20 cm og en højde på 10 cm.
Før du begynder at løse problemet, bør du håndtere kildedataene. Cylinderens radius er lig med halvdelen af dens diameter, hvilket betyder r=20/2=10 cm, mens højden er h=10 cm. Da cylinderen, der tages i betragtning i opgaven, er lavet af kobber, så henviser til referencedata, udskriver vi tæthedsværdien af dette materiale: ρ=8, 96 g/cm3 (for temperatur 20 °C).
Nu kan du begynde at løse problemet. Lad os først beregne volumen: V=pir2h=3, 14(10)210=3140 cm3. Så vil cylinderens masse være: m=ρV=8,963140=28134 gram eller cirka 28 kilogram.
Du bør være opmærksom på dimensionerne af enhederne under deres brug i de tilsvarende formler. Så i problemet blev alle parametre præsenteret i centimeter og gram.
Homogene og hule cylindre
Fra resultatet opnået ovenfor kan det ses, at en kobbercylinder med relativt små dimensioner (10 cm) har en stor masse (28 kg). Det skyldes ikke kun, at det er lavet af tungt materiale, men også at det er homogent. Denne kendsgerning er vigtig at forstå, da ovenstående formel til beregning af massen kun kan bruges, hvis cylinderen er fuldstændig (udvendig og indvendig) lavet af det samme materiale, dvs. den er homogen.
I praksis bruges ofte hule cylindre (f.eks. cylindriske tønder til vand). Det vil sige, at de er lavet af tynde plader af noget materiale, men indeni er de tomme. For en hul cylinder kan den angivne formel til beregning af massen ikke bruges.
Beregning af massen af en hul cylinder
Det er interessant at beregne, hvilken masse en kobbercylinder vil have, hvis den er tom indeni. Lad det for eksempel være lavet af en tynd kobberplade med en tykkelse på kun d=2 mm.
For at løse dette problem skal du finde volumen af selve kobberet, som objektet er lavet af. Ikke cylinderens volumen. Fordi tykkelsenarket er lille i forhold til cylinderens dimensioner (d=2 mm og r=10 cm), så kan kobbervolumenet, som genstanden er lavet af, findes ved at gange hele cylinderens overfladeareal med kobberpladens tykkelse får vi: V=dS 3=d2pir(r+h). Ved at erstatte dataene fra den forrige opgave får vi: V=0,223, 1410(10+10)=251,2 cm3. Massen af en hul cylinder kan opnås ved at multiplicere det opnåede volumen af kobber, som var påkrævet til dets fremstilling, med densiteten af kobber: m \u003d 251,28,96 \u003d 2251 g eller 2,3 kg. Det vil sige, at den betragtede hule cylinder vejer 12 (28, 1/2, 3) gange mindre end en homogen.
