En bred vifte af relationer på eksemplet med mængder er ledsaget af et stort antal begreber, startende med deres definitioner og slutter med en analytisk analyse af paradokser. Variationen af konceptet, der diskuteres i artiklen om sættet, er uendelig. Selvom det, når man taler om dobbelttyper, betyder binære forhold mellem flere værdier. Og også mellem objekter eller udsagn.
Som regel er binære relationer betegnet med symbolet R, det vil sige, hvis xRx for en hvilken som helst værdi x fra feltet R, kaldes en sådan egenskab refleksiv, hvor x og x er accepterede tankeobjekter, og R tjener som et tegn på om eller anden form for forhold mellem individer. På samme tid, hvis du udtrykker xRy® eller yRx, så indikerer dette en tilstand af symmetri, hvor ® er et implikationstegn svarende til foreningen "hvis … så …". Og til sidst, afkodningen af indskrift (xRy Ùy Rz) ®xRz fortæller om transitiv relation, og tegnet Ù er en konjunktion.
En binær relation, der er både refleksiv, symmetrisk og transitiv, kaldes en ækvivalensrelation. Relationen f er en funktion, og ligheden y=z følger af Î f og Î f. En simpel binær funktion kan let anvendestil to simple argumenter i en bestemt rækkefølge, og kun i dette tilfælde giver det en mening rettet mod disse to udtryk taget i et bestemt tilfælde.
Det skal siges, at f kortlægger x til y,
hvis f er en funktion med interval x og interval y. Men når f ekstrapolerer x til y og y Í z, får dette f til at vise x i z. Et simpelt eksempel: hvis f(x)=2x er sandt for et hvilket som helst heltal x, så siges f at kortlægge fortegnsmængden af alle kendte heltal til mængden af de samme heltal, men denne gang lige tal. Som nævnt ovenfor er binære relationer, der både er refleksive, symmetriske og transitive, ækvivalensrelationer.
Baseret på ovenstående bestemmes ækvivalensrelationer af binære relationer af egenskaber:
- refleksivitet - forhold (M ~ N);
- symmetrier - hvis ligheden er M ~ N, så vil der være N ~ M;
- transitivitet - hvis to ligheder M ~ N og N ~ P, så som et resultat M ~ P.
Lad os overveje de erklærede egenskaber ved binære relationer mere detaljeret. Refleksivitet er et af kendetegnene ved visse forbindelser, hvor hvert element i det undersøgte sæt er i en given lighed med sig selv. For eksempel er der mellem tallene a=c og a³ c refleksive forbindelser, da altid a=a, c=c, a³ a, c³ c. Samtidig er forholdet mellem uligheden a>c antirefleksiv på grund af umuligheden af eksistensen af uligheden a>a. Aksiomet for denne egenskab er kodet af tegn: aRc®aRa Ù cRc, her betyder symbolet ® ordet "involverer" (eller "implicerer"), og tegnet Ù - er foreningen "og" (eller konjunktion). Det følger af dette udsagn, at hvis dommen aRc er sand, er udtrykkene aRa og cRc også sande.
Symmetri medfører tilstedeværelsen af et forhold, selvom mentale objekter udveksles, det vil sige, med en symmetrisk relation, fører omarrangeringen af objekter ikke til en transformation af typen "binære relationer". For eksempel er forholdet mellem lighed a=c symmetrisk på grund af ækvivalensen af forholdet c=a; propositionen a¹c er også den samme, da den svarer til forbindelsen med¹a.
Et transitivt sæt er en egenskab, der opfylder følgende krav: y н x, z н y ® z н x, hvor ® er et tegn, der erstatter ordene: "hvis …, så …". Formlen læses verb alt som følger: "Hvis y afhænger af x, hører z til y, så afhænger z også af x".
