I matematik er logaritmen den inverse af eksponentialfunktionen. Det betyder, at logaritmen af lg er den potens, som tallet b skal hæves til for at få x som resultat. I det enkleste tilfælde tager det hensyn til den gentagne multiplikation af samme værdi.
Overvej et specifikt eksempel:
1000=10 × 10 × 10=103
I dette tilfælde er det basis ti-logaritmen af lg. Det er lig med tre.
lg101000=3
Generelt vil udtrykket se således ud:
lgbx=a
Eksponentiering gør det muligt at øge ethvert positivt reelt tal til en hvilken som helst reel værdi. Resultatet vil altid være større end nul. Derfor er logaritmen for to positive reelle tal b og x, hvor b ikke er lig med 1, altid et unikt reelt tal a. Desuden definerer det forholdet mellem eksponentiering og logaritme:
lgbx=a if ba=x.
Historie
Historien om logaritmen (lg) stammer fra Europa i det syttende århundrede. Dette er åbningen af en ny funktionudvidede analysens omfang ud over algebraiske metoder. Metoden til logaritmer blev offentligt foreslået af John Napier i 1614 i en bog kaldet Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ("Beskrivelse af de bemærkelsesværdige regler for logaritmer"). Før videnskabsmandens opfindelse var der andre metoder inden for lignende områder, såsom brugen af progressionstabeller udviklet af Jost Bürggi omkring 1600.
Decimallogaritmen lg er logaritmen med basis ti. For første gang blev rigtige logaritmer brugt med heuristik til at konvertere multiplikation til addition, hvilket letter hurtig beregning. Nogle af disse metoder brugte tabeller afledt af trigonometriske identiteter.
Opdagelsen af funktionen nu kendt som logaritmen (lg) tilskrives Gregory de Saint Vincent, en belgier, der bor i Prag, der forsøger at kvadraturere en rektangulær hyperbel.
Brug
Logarithmer bruges ofte uden for matematik. Nogle af disse tilfælde er relateret til begrebet skalainvarians. For eksempel er hvert kammer i nautilus-skallen en omtrentlig kopi af den næste, formindsket eller forstørret et vist antal gange. Dette kaldes en logaritmisk spiral.
Dimensioner af selvfremstillede geometrier, hvoraf dele ligner det endelige produkt, er også baseret på logaritmer. Logaritmiske skalaer er nyttige til at kvantificere relative ændringerværdier. Desuden, da funktionen logbx vokser meget langsomt ved stort x, bruges logaritmiske skalaer til at komprimere videnskabelige data i stor skala. Logaritmer optræder også i adskillige videnskabelige formler, såsom Fenske-ligningen eller Nernst-ligningen.
Beregning
Nogle logaritmer kan nemt beregnes, f.eks. log101000=3. Generelt kan de beregnes ved hjælp af potensrækker eller det aritmetisk-geometriske middelværdi eller uddrages fra en forudberegnede tabellogaritmer, som har høj nøjagtighed.
Newtons iterative metode til løsning af ligninger kan også bruges til at finde værdien af logaritmen. Da den inverse funktion for logaritmikken er eksponentiel, er beregningsprocessen meget forenklet.
