Evnen til at beregne rumfanget af rumlige figurer er vigtig for at løse en række praktiske problemer inden for geometri. En af de mest almindelige former er pyramiden. I denne artikel vil vi overveje formlerne for pyramidens volumen, både fuld og afkortet.
Pyramid som en tredimensionel figur
Alle kender til de egyptiske pyramider, så de har en god idé om, hvilken figur der vil blive diskuteret. Egyptiske stenstrukturer er dog kun et speci altilfælde af en enorm klasse af pyramider.
Det betragtede geometriske objekt i det generelle tilfælde er en polygonal base, hvis toppunkt er forbundet med et punkt i rummet, der ikke hører til grundplanet. Denne definition fører til en figur bestående af én n-gon og n trekanter.
Enhver pyramide består af n+1 flader, 2n kanter og n+1 hjørner. Da den betragtede figur er et perfekt polyeder, følger antallet af markerede elementer Euler-ligheden:
2n=(n+1) + (n+1) - 2.
Polygonen i bunden giver navnet på pyramiden,for eksempel trekantet, femkantet og så videre. Et sæt pyramider med forskellige baser er vist på billedet nedenfor.
Det punkt, hvor n trekanter af figuren er forbundet, kaldes toppen af pyramiden. Hvis en vinkelret sænkes fra den til basen, og den skærer den i det geometriske centrum, vil en sådan figur blive kaldt en lige linje. Hvis denne betingelse ikke er opfyldt, er der en skrå pyramide.
En lige figur, hvis basis er dannet af en ligesidet (ligekantet) n-gon, kaldes regulær.
Pyramidvolumenformel
For at beregne volumen af pyramiden bruger vi integralregningen. For at gøre dette opdeler vi figuren med sekantplaner parallelt med basen i et uendeligt antal tynde lag. Nedenstående figur viser en firkantet pyramide med højden h og sidelængden L, hvor et tyndt snitlag er markeret med en firkant.
Arealet af hvert sådant lag kan beregnes ved hjælp af formlen:
A(z)=A0(h-z)2/h2.
Her er A0 arealet af basen, z er værdien af den lodrette koordinat. Det kan ses, at hvis z=0, så giver formlen værdien A0.
For at få formlen for rumfanget af en pyramide, skal du beregne integralet over hele figurens højde, det vil sige:
V=∫h0(A(z)dz).
Når vi erstatter afhængigheden A(z) og beregner antiderivatet, kommer vi frem til udtrykket:
V=-A0(h-z)3/(3h2)| h0=1/3A0h.
Vi har formlen for pyramidens rumfang. For at finde værdien af V er det nok at gange højden af figuren med arealet af basen og derefter dividere resultatet med tre.
Bemærk, at det resulterende udtryk er gyldigt til at beregne volumenet af en pyramide af en vilkårlig type. Det vil sige, at den kan hældes, og dens base kan være en vilkårlig n-gon.
Den korrekte pyramide og dens volumen
Den generelle formel for volumen opnået i afsnittet ovenfor kan forfines i tilfælde af en pyramide med den korrekte base. Arealet af en sådan base beregnes ved hjælp af følgende formel:
A0=n/4L2ctg(pi/n).
Her er L sidelængden af en regulær polygon med n toppunkter. Symbolet pi er tallet pi.
Ved at erstatte udtrykket med A0 i den generelle formel, får vi volumen af en regulær pyramide:
V=1/3n/4L2hctg(pi/n)=n/12 L2hctg(pi/n).
For en trekantet pyramide fører denne formel f.eks. til følgende udtryk:
V3=3/12L2hctg(60o)=√3/12L2t.
For en regulær firkantet pyramide bliver volumenformlen:
V4=4/12L2hctg(45o)=1/3L2t.
Ved at bestemme volumen af regulære pyramider kræver det at kende siden af deres base og højden af figuren.
Trunkeret pyramide
Antag, at vi togen vilkårlig pyramide og afskær en del af dens sideflade, der indeholder toppen. Den resterende figur kaldes en afkortet pyramide. Den består allerede af to n-gonale baser og n trapezoider, der forbinder dem. Hvis skæreplanet var parallelt med bunden af figuren, dannes en afkortet pyramide med parallelle lignende baser. Det vil sige, at længderne af siderne på den ene af dem kan opnås ved at gange længden af den anden med en eller anden koefficient k.
Billedet ovenfor viser en afkortet regulær sekskantet pyramide. Det kan ses, at dens øvre base, ligesom den nederste, er dannet af en regulær sekskant.
Formlen for rumfanget af en afkortet pyramide, som kan udledes ved hjælp af en integralregning svarende til den givne, er:
V=1/3t(A0+ A1+ √(A0 A1)).
Hvor A0 og A1 er områderne af henholdsvis den nedre (store) og den øvre (lille) base. Variablen h er højden af den afkortede pyramide.
Rumfanget af Keopspyramiden
Det er interessant at løse problemet med at bestemme det volumen, som den største egyptiske pyramide indeholder indeni.
I 1984 fastlagde de britiske egyptologer Mark Lehner og Jon Goodman de nøjagtige dimensioner af Cheops-pyramiden. Dens oprindelige højde var 146,50 meter (i øjeblikket omkring 137 meter). Den gennemsnitlige længde af hver af de fire sider af strukturen var 230.363 meter. Pyramidens bund er firkantet med høj nøjagtighed.
Lad os bruge de givne tal til at bestemme volumen af denne stengigant. Da pyramiden er en regulær firkantet, er formlen gyldig for den:
V4=1/3L2h.
Erstat numrene, vi får:
V4=1/3(230, 363)2146, 5 ≈ 2591444 m 3.
Keops-pyramidens volumen er næsten 2,6 millioner m3. Til sammenligning bemærker vi, at den olympiske pulje har et volumen på 2,5 tusind m3. Det vil sige, for at fylde hele Cheops-pyramiden vil der være brug for mere end 1000 af disse puljer!
