For mange mennesker er matematisk analyse blot et sæt uforståelige tal, ikoner og definitioner, der er langt fra det virkelige liv. Men den verden, vi eksisterer i, er bygget på numeriske mønstre, hvis identifikation hjælper ikke kun med at lære om verden omkring os og løse dens komplekse problemer, men også til at forenkle hverdagens praktiske opgaver. Hvad mener en matematiker, når han siger, at en talrække konvergerer? Dette bør diskuteres mere detaljeret.
Hvad er en infinitesimal?
Lad os forestille os matryoshka-dukker, der passer ind i hinanden. Deres størrelser, skrevet i form af tal, starter med den største og slutter med den mindste af dem, danner en sekvens. Hvis du forestiller dig et uendeligt antal af sådanne lyse figurer, vil den resulterende række være fantastisk lang. Dette er en konvergent talrække. Og det har en tendens til nul, da størrelsen af hver efterfølgende rededukke, katastrof alt faldende, gradvist bliver til ingenting. Så det er nemtkan forklares: hvad er uendeligt.
Et lignende eksempel ville være en vej, der fører ind i det fjerne. Og de visuelle dimensioner af bilen, der kører væk fra iagttageren langs den, gradvist skrumpende, bliver til en formløs plet, der ligner en prik. Dermed bliver maskinen, som en genstand, der bevæger sig væk i en ukendt retning, uendelig lille. Parametrene for den angivne krop vil aldrig være nul i ordets bogstavelige betydning, men har altid tendens til denne værdi i den endelige grænse. Derfor konvergerer denne sekvens igen til nul.
Beregn alt dråbe for dråbe
Lad os nu forestille os en verdslig situation. Lægen ordinerede patienten til at tage medicinen, begyndende med ti dråber om dagen og tilføjede to hver næste dag. Og så lægen foreslog at fortsætte, indtil indholdet af hætteglasset med medicin, hvis volumen er 190 dråber, løber tør. Det følger af det foregående, at antallet af sådanne, planlagt efter dag, vil være følgende nummerserier: 10, 12, 14 og så videre.
Hvordan finder man ud af tidspunktet for at gennemføre hele kurset og antallet af medlemmer af sekvensen? Her kan man selvfølgelig tælle dråber på primitiv vis. Men det er meget nemmere, givet mønsteret, at bruge formlen for summen af en aritmetisk progression med et trin d=2. Og ved hjælp af denne metode kan du finde ud af, at antallet af medlemmer af talrækken er 10. I dette tilfælde, a10=28. Penisnummeret angiver antallet af dage, man tager medicinen, og 28 svarer til antallet af dråber, som patienten skalbrug den sidste dag. Konvergerer denne sekvens? Nej, for på trods af, at den er begrænset til 10 nedefra og 28 ovenfra, har sådan en talserie ingen grænse, i modsætning til de tidligere eksempler.
Hvad er forskellen?
Lad os nu prøve at præcisere: hvornår talrækken viser sig at være en konvergent sekvens. En definition af denne art, som det kan konkluderes af ovenstående, er direkte relateret til begrebet en endelig grænse, hvis tilstedeværelse afslører essensen af spørgsmålet. Så hvad er den grundlæggende forskel mellem de tidligere givne eksempler? Og hvorfor i den sidste af dem kan tallet 28 ikke betragtes som grænsen for talrækken X =10 + 2(n-1)?
For at afklare dette spørgsmål, overvej en anden sekvens givet af formlen nedenfor, hvor n tilhører sættet af naturlige tal.
Dette fællesskab af medlemmer er et sæt almindelige brøker, hvis tæller er 1, og nævneren er konstant stigende: 1, ½ …
Desuden nærmer hver efterfølgende repræsentant for denne serie sig 0 mere og mere med hensyn til placering på tallinjen. Og det betyder, at et sådant kvarter vises, hvor punkterne klynger sig omkring nul, hvilket er grænsen. Og jo tættere de er på det, jo tættere bliver deres koncentration på tallinjen. Og afstanden mellem dem er katastrof alt reduceret og bliver til en uendelig lille. Dette er et tegn på, at sekvensen konvergerer.
LignendeSåledes er de flerfarvede rektangler vist på figuren, når de bevæger sig væk i rummet, visuelt mere overfyldte, idet den hypotetiske grænse bliver til ubetydelig.
uendeligt store sekvenser
Efter at have analyseret definitionen af en konvergent sekvens, lad os gå videre til modeksempler. Mange af dem har været kendt af mennesket siden oldtiden. De enkleste varianter af divergerende sekvenser er rækken af naturlige og lige tal. De kaldes uendeligt store på en anden måde, da deres medlemmer, konstant stigende, i stigende grad nærmer sig den positive uendelighed.
Et eksempel på en sådan kan også være en hvilken som helst af de aritmetiske og geometriske progressioner med henholdsvis trin og nævner større end nul. Derudover betragtes numeriske serier som divergerende sekvenser, som slet ikke har en grænse. For eksempel, X =(-2) -1.
Fibonacci-sekvens
De praktiske fordele ved den tidligere nævnte nummerserie for menneskeheden er ubestridelige. Men der er utallige andre gode eksempler. En af dem er Fibonacci-sekvensen. Hvert af dets medlemmer, som begynder med et, er summen af de foregående. Dens to første repræsentanter er 1 og 1. Den tredje 1+1=2, den fjerde 1+2=3, den femte 2+3=5. Ydermere følger, ifølge samme logik, tallene 8, 13, 21 og så videre.
Denne talrække stiger uendeligt og har ingenendelig grænse. Men det har en anden vidunderlig ejendom. Forholdet mellem hvert foregående tal og det næste kommer tættere og tættere på i sin værdi til 0,618. Her kan du forstå forskellen mellem en konvergent og divergerende sekvens, for hvis du laver en række modtagne partielle divisioner, vil det angivne numeriske system have en endelig grænse lig med 0,618.
Sekvens af Fibonacci-forhold
Nummerserien angivet ovenfor er meget brugt til praktiske formål til teknisk analyse af markeder. Men dette er ikke begrænset til dets muligheder, som egypterne og grækerne kendte og var i stand til at omsætte i praksis i oldtiden. Dette bevises af pyramiderne, de byggede, og Parthenon. Når alt kommer til alt er tallet 0,618 en konstant koefficient for det gyldne snit, velkendt i gamle dage. Ifølge denne regel kan ethvert vilkårligt segment opdeles, så forholdet mellem dets dele vil falde sammen med forholdet mellem det største af segmenterne og den samlede længde.
Lad os konstruere en række af de angivne relationer og prøve at analysere denne sekvens. Nummerrækken bliver som følger: 1; 0,5; 0,67; 0,6; 0,625; 0,615; 0, 619 og så videre. Hvis vi fortsætter på denne måde, kan vi sikre os, at grænsen for den konvergerende sekvens faktisk vil være 0,618. Det er dog nødvendigt at bemærke andre egenskaber ved denne regelmæssighed. Her ser tallene ud til at gå tilfældigt, og slet ikke i stigende eller faldende rækkefølge. Dette betyder, at denne konvergerende sekvens ikke er monoton. Hvorfor det er sådan, vil blive diskuteret yderligere.
Monotonicitet og begrænsning
Medlemmer af nummerserien kan klart falde med stigende antal (hvis x1>x2>x3>…>x >…) eller stigende (hvis x1<x2<x3<…<x <…). I dette tilfælde siges sekvensen at være strengt monotonisk. Andre mønstre kan også observeres, hvor de numeriske serier vil være ikke-faldende og ikke-stigende (x1≧x2≧x 3≧ …≧x ≧… eller x1≦x2≦x 3 ≦…≦x ≦…), så er den successivt konvergerende også monoton, men ikke i streng forstand. Et godt eksempel på den første af disse muligheder er talrækken givet af følgende formel.
Når du har malet numrene på denne serie, kan du se, at nogen af dens medlemmer, der på ubestemt tid nærmer sig 1, aldrig vil overstige denne værdi. I dette tilfælde siges den konvergente sekvens at være afgrænset. Dette sker, når der er sådan et positivt tal M, som altid er større end nogen af termerne i serien modulo. Hvis en talserie har tegn på monotonitet og har en grænse og derfor konvergerer, så er den nødvendigvis udstyret med en sådan egenskab. Og det modsatte behøver ikke at være sandt. Dette bevises af boundedness-sætningen for en konvergent sekvens.
Anvendelsen af sådanne observationer i praksis er meget nyttig. Lad os give et specifikt eksempel ved at undersøge egenskaberne af sekvensen X =n/n+1, og bevis dets konvergens. Det er let at vise, at det er monotont, da (x +1 – x) er et positivt tal for alle n-værdier. Rækkefølgens grænse er lig med tallet 1, hvilket betyder, at alle betingelserne i ovenstående sætning, også kaldet Weierstrass-sætningen, er opfyldt. Sætningen om afgrænsningen af en konvergent sekvens siger, at hvis den har en grænse, så viser den sig under alle omstændigheder at være begrænset. Lad os dog tage følgende eksempel. Talrækken X =(-1) er afgrænset nedefra af -1 og ovenfra af 1. Men denne sekvens er ikke monoton, har ingen grænse, og konvergerer derfor ikke. Det vil sige, at eksistensen af en grænse og konvergens ikke altid følger af begrænsning. For at dette skal virke, skal de nedre og øvre grænser matche, som i tilfældet med Fibonacci-forhold.
Universets tal og love
De enkleste varianter af en konvergent og divergerende sekvens er måske den numeriske række X =n og X =1/n. Den første af dem er en naturlig række af tal. Den er, som allerede nævnt, uendelig stor. Den anden konvergente sekvens er afgrænset, og dens vilkår er tæt på uendelig i størrelsesorden. Hver af disse formler personificerer en af siderne af det mangefacetterede univers, og hjælper en person til at forestille sig og beregne noget ukendeligt, utilgængeligt for begrænset opfattelse på sproget med tal og tegn.
Universets love, der spænder fra ubetydelige til utroligt store, udtrykker også det gyldne snit på 0,618. Forskerede tror, at det er grundlaget for tingenes essens og bruges af naturen til at danne dens dele. Forholdet mellem de næste og de tidligere medlemmer af Fibonacci-serien, som vi allerede har nævnt, fuldender ikke demonstrationen af denne unikke series fantastiske egenskaber. Hvis vi betragter kvotienten ved at dividere det foregående led med det næste gennem et, så får vi en række på 0,5; 0,33; 0,4; 0,375; 0,384; 0,380; 0, 382 og så videre. Det er interessant, at denne begrænsede sekvens konvergerer, den er ikke ensformig, men forholdet mellem nabotals ekstreme fra et bestemt medlem er altid omtrent lig med 0,382, hvilket også kan bruges i arkitektur, teknisk analyse og andre industrier.
Der er andre interessante koefficienter i Fibonacci-serien, de spiller alle en særlig rolle i naturen og bruges også af mennesker til praktiske formål. Matematikere er sikre på, at universet udvikler sig i henhold til en vis "gylden spiral", dannet ud fra de angivne koefficienter. Med deres hjælp er det muligt at beregne mange fænomener, der forekommer på Jorden og i rummet, fra væksten i antallet af visse bakterier til bevægelsen af fjerne kometer. Som det viser sig, adlyder DNA-koden lignende love.
Aftagende geometrisk progression
Der er en sætning, der hævder det unikke ved grænsen for en konvergent sekvens. Det betyder, at det ikke kan have to eller flere grænser, hvilket uden tvivl er vigtigt for at finde dets matematiske karakteristika.
Lad os se på noglesager. Enhver numerisk serie sammensat af medlemmer af en aritmetisk progression er divergerende, undtagen tilfældet med et nultrin. Det samme gælder for en geometrisk progression, hvis nævner er større end 1. Grænserne for sådanne numeriske serier er "plus" eller "minus" af uendelighed. Hvis nævneren er mindre end -1, er der ingen grænse overhovedet. Andre muligheder er mulige.
Betragt talrækken givet af formlen X =(1/4) -1. Ved første øjekast er det let at se, at denne konvergerende sekvens er begrænset, fordi den er strengt faldende og på ingen måde i stand til at tage negative værdier.
Lad os skrive et antal af dets medlemmer i træk.
Det vil vise sig: 1; 0,25; 0,0625; 0,015625; 0, 00390625 og så videre. Ganske simple beregninger er nok til at forstå, hvor hurtigt denne geometriske progression falder fra nævnerne 0<q<1. Mens nævneren af vilkårene stiger i det uendelige, bliver de selv uendeligt små. Det betyder, at grænsen for talrækken er 0. Dette eksempel demonstrerer endnu en gang den begrænsede karakter af den konvergerende sekvens.
Fundamentale sekvenser
Augustin Louis Cauchy, en fransk videnskabsmand, afslørede for verden mange værker relateret til matematisk analyse. Han gav definitioner til sådanne begreber som differential, integral, grænse og kontinuitet. Han studerede også de grundlæggende egenskaber ved konvergente sekvenser. For at forstå essensen af hans ideer,nogle vigtige detaljer skal opsummeres.
I begyndelsen af artiklen blev det vist, at der er sådanne sekvenser, for hvilke der er et kvarter, hvor de punkter, der repræsenterer medlemmerne af en bestemt serie på den rigtige linje, begynder at klynge sig sammen og stille sig mere og mere på linie tæt. Samtidig falder afstanden mellem dem, når antallet af den næste repræsentant stiger, og bliver til en uendelig lille. Det viser sig således, at der i et givet kvarter er grupperet et uendeligt antal repræsentanter for en given række, mens der uden for den er et endeligt antal af dem. Sådanne sekvenser kaldes fundamentale.
Det berømte Cauchy-kriterium, skabt af en fransk matematiker, indikerer klart, at tilstedeværelsen af en sådan egenskab er tilstrækkelig til at bevise, at sekvensen konvergerer. Det omvendte er også sandt.
Det skal bemærkes, at denne konklusion fra den franske matematiker for det meste er af rent teoretisk interesse. Dens anvendelse i praksis anses for at være en ret kompliceret sag, derfor er det for at afklare konvergensen af serier meget vigtigere at bevise eksistensen af en endelig grænse for en sekvens. Ellers betragtes det som divergerende.
Når man løser problemer, bør man også tage højde for de grundlæggende egenskaber ved konvergerende sekvenser. De er vist nedenfor.
uendelige summer
Sådan berømte videnskabsmænd fra antikken som Arkimedes, Euklid, Eudoxus brugte summen af uendelige talrækker til at beregne længden af kurver, rumfang af kroppeog områder af figurer. Især på denne måde var det muligt at finde ud af området af det parabolske segment. Til dette blev summen af den numeriske række af en geometrisk progression med q=1/4 brugt. Volumen og arealer af andre vilkårlige figurer blev fundet på lignende måde. Denne mulighed blev kaldt "udmattelsesmetoden". Ideen var, at den undersøgte krop, kompleks i form, blev opdelt i dele, som var figurer med let målbare parametre. Af denne grund var det ikke svært at beregne deres arealer og volumener, og så lægges de sammen.
Forresten, lignende opgaver er meget velkendte for moderne skolebørn og findes i USE-opgaver. Den unikke metode, fundet af fjerne forfædre, er langt den enkleste løsning. Selvom der kun er to eller tre dele, som den numeriske figur er opdelt i, er tilføjelsen af deres arealer stadig summen af talrækken.
Meget senere end de antikke græske videnskabsmænd Leibniz og Newton, baseret på erfaringerne fra deres vise forgængere, lærte mønstrene for integralberegning. Kendskab til sekvensernes egenskaber hjalp dem med at løse differential- og algebraiske ligninger. På nuværende tidspunkt giver teorien om serier, skabt af indsatsen fra mange generationer af talentfulde videnskabsmænd, en chance for at løse et stort antal matematiske og praktiske problemer. Og studiet af numeriske sekvenser har været hovedproblemet løst ved matematisk analyse siden starten.
