Pythagoras hævdede, at tallet ligger til grund for verden sammen med de grundlæggende elementer. Platon mente, at tallet forbinder fænomenet og noumenonet og hjælper med at erkende, måle og drage konklusioner. Aritmetik kommer fra ordet "aritmos" - et tal, begyndelsen på begyndelsen i matematik. Det kan beskrive ethvert objekt - fra et elementært æble til abstrakte rum.
Behov som udviklingsfaktor
I de tidlige stadier af samfundsdannelsen var folks behov begrænset til behovet for at holde tælling - en sæk korn, to sække korn osv. Naturlige tal var nok til dette, hvis sæt er en uendelig positiv sekvens af heltal N.
Senere, med udviklingen af matematik som videnskab, var der behov for et separat felt med heltal Z - det inkluderer negative værdier og nul. Dets udseende på husstandsniveau blev provokeret af det faktum, at det i det primære regnskab var nødvendigt at på en eller anden måde rettegæld og tab. På et videnskabeligt niveau har negative tal gjort det muligt at løse de simpleste lineære ligninger. Blandt andet er billedet af et trivielt koordinatsystem nu blevet muligt, da der er dukket et referencepunkt op.
Det næste skridt var behovet for at introducere brøktal, da videnskaben ikke stod stille, krævede flere og flere opdagelser et teoretisk grundlag for en ny vækstimpuls. Sådan fremstod feltet med rationelle tal Q.
Endelig holdt rationaliteten op med at imødekomme anmodninger, fordi alle nye konklusioner krævede begrundelse. Der dukkede feltet med reelle tal R op, Euklids værker om incommensurability af visse mængder på grund af deres irrationalitet. Det vil sige, at oldgræske matematikere placerede tallet ikke kun som en konstant, men også som en abstrakt størrelse, som er karakteriseret ved forholdet mellem inkommensurable størrelser. På grund af det faktum, at reelle tal dukkede op, så størrelser som "pi" og "e" lyset, uden hvilke moderne matematik ikke kunne finde sted.
Den sidste nyskabelse var det komplekse tal C. Det besvarede en række spørgsmål og tilbageviste de tidligere introducerede postulater. På grund af den hurtige udvikling af algebra var resultatet forudsigeligt - med reelle tal var det umuligt at løse mange problemer. For eksempel, takket være komplekse tal, skilte teorien om strenge og kaos sig ud, og hydrodynamikkens ligninger blev udvidet.
Sætteteori. Kantor
Begrebet uendelighed til enhver tidskabte kontroverser, da det hverken kunne bevises eller modbevises. I forbindelse med matematikken, som opererede med strengt verificerede postulater, manifesterede dette sig tydeligst, især da det teologiske aspekt stadig havde vægt i videnskaben.
Takket være matematikeren Georg Kantors arbejde faldt alt på plads med tiden. Han beviste, at der er et uendeligt antal uendelige mængder, og at feltet R er større end feltet N, selvom de begge ikke har nogen ende. I midten af 1800-tallet blev hans ideer højlydt kaldt nonsens og en forbrydelse mod klassiske, urokkelige kanoner, men tiden satte alt på sin plads.
Grundlæggende egenskaber for feltet R
Reelle tal har ikke kun de samme egenskaber som de delmængder, der er inkluderet i dem, men er også suppleret med andre på grund af deres elementers skala:
- Nul eksisterer og hører til feltet R. c + 0=c for enhver c fra R.
- Nul eksisterer og hører til feltet R. c x 0=0 for enhver c fra R.
- Relationen c: d for d ≠ 0 eksisterer og er gyldig for enhver c, d fra R.
- Feltet R er ordnet, dvs. hvis c ≦ d, d ≦ c, så er c=d for enhver c, d fra R.
- Addition i feltet R er kommutativ, dvs. c + d=d + c for enhver c, d fra R.
- Multiplikation i feltet R er kommutativ, dvs. c x d=d x c for enhver c, d fra R.
- Addition i feltet R er associativ, dvs. (c + d) + f=c + (d + f) for enhver c, d, f fra R.
- Multiplikation i feltet R er associativ, dvs. (c x d) x f=c x (d x f) for enhver c, d, f fra R.
- For hvert tal i feltet R er der en modsætning, således at c + (-c)=0, hvor c, -c er fra R.
- For hvert tal fra feltet R er der dets inverse, således at c x c-1 =1, hvor c, c-1 fra R.
- Enheden eksisterer og tilhører R, så c x 1=c, for enhver c fra R.
- Fordelingsloven er gyldig, så c x (d + f)=c x d + c x f, for enhver c, d, f fra R.
- I felt R er nul ikke lig med én.
- Feltet R er transitivt: hvis c ≦ d, d ≦ f, så c ≦ f for enhver c, d, f fra R.
- I feltet R er rækkefølge og tilføjelse relaterede: hvis c ≦ d, så c + f ≦ d + f for enhver c, d, f fra R.
- I feltet R er rækkefølge og multiplikation relateret: hvis 0 ≦ c, 0 ≦ d, så 0 ≦ c x d for enhver c, d fra R.
- Både negative og positive reelle tal er kontinuerte, det vil sige, for enhver c, d fra R, er der en f fra R, således at c ≦ f ≦ d.
Modul i felt R
Reelle tal inkluderer modul.
Benævnt som |f| for enhver f fra R. |f|=f hvis 0 ≦ f og |f|=-f hvis 0 > f. Hvis vi betragter modulet som en geometrisk størrelse, så er det den tilbagelagte distance - det er lige meget om du "passerede" nul til minus eller frem til plus.
Komplekse og reelle tal. Hvad er lighederne, og hvad er forskellene?
I det store og hele er komplekse og reelle tal et og det samme, bortset fra detimaginær enhed i, hvis kvadrat er -1. Elementerne i felterne R og C kan repræsenteres som følgende formel:
c=d + f x i, hvor d, f hører til feltet R, og i er den imaginære enhed
For at få c fra R i dette tilfælde sættes f simpelthen lig med nul, det vil sige, at kun den reelle del af tallet er tilbage. På grund af det faktum, at feltet med komplekse tal har det samme sæt egenskaber som feltet for reelle tal, f x i=0, hvis f=0.
Med hensyn til praktiske forskelle, for eksempel i R-feltet, løses andengradsligningen ikke, hvis diskriminanten er negativ, mens C-feltet ikke pålægger en sådan begrænsning på grund af indførelsen af den imaginære enhed i.
Resultater
"klodserne" i de aksiomer og postulater, som matematikken er baseret på, ændres ikke. På grund af stigningen i information og introduktion af nye teorier, er følgende "klodser" placeret på nogle af dem, som i fremtiden kan blive grundlaget for næste skridt. For eksempel mister naturlige tal, på trods af at de er en delmængde af det reelle felt R, ikke deres relevans. Det er på dem, al elementær aritmetik er baseret, hvormed menneskets viden om verden begynder.
Fra et praktisk synspunkt ligner reelle tal en lige linje. På den kan du vælge retningen, angive oprindelsen og trin. En ret linje består af et uendeligt antal punkter, som hver svarer til et enkelt reelt tal, uanset om det er rationelt eller ej. Det fremgår tydeligt af beskrivelsen, at der er tale om et begreb, som både matematik generelt og matematisk analyse generelt er bygget på.bestemt.
