Ved ordet "uendelighed" har hver person sine egne associationer. Mange tegner i deres fantasi havet, der går ud over horisonten, mens andre har et billede af en endeløs stjernehimmel for øjnene. Matematikere, der er vant til at arbejde med tal, forestiller sig uendeligheden på en helt anden måde. I mange århundreder har de forsøgt at finde den største af de fysiske mængder, der kræves til måling. En af dem er Graham-nummeret. Hvor mange nuller der er i den, og hvad den bruges til, vil denne artikel fortælle.
uendeligt stort antal
I matematik er dette navnet på en sådan variabel x , hvis man for et givet positivt tal M kan angive et naturligt tal N således, at for alle tal n større end N uligheden |x | > M. Men nej, for eksempel kan heltal Z betragtes som uendeligt stort, da det altid vil være mindre end (Z + 1).
Et par ord om "giganter"
De største tal, der har fysisk betydning, anses for at være:
- 1080. Dette tal, som almindeligvis kaldes en quinquavigintillion, bruges til at angive det omtrentlige antal kvarker og leptoner (de mindste partikler) i universet.
- 1 Google. Et sådant tal i decimalsystemet skrives som en enhed med 100 nuller. Ifølge nogle matematiske modeller, fra tidspunktet for big bang til eksplosionen af det mest massive sorte hul, skulle der gå fra 1 til 1,5 googol år, hvorefter vores univers vil bevæge sig ind i den sidste fase af sin eksistens, dvs. antag, at dette tal har en vis fysisk betydning.
- 8, 5 x 10185. Plancks konstant er 1,616199 x 10-35 m, dvs. i decimalnotation ser det ud som 0,0000000000000000000000000000000616199 m. Der er omkring 1 googol Planck længde i en tomme. Det anslås, at omkring 8,5 x 10185 Planck-længder kan passe i hele vores univers.
- 277 232 917 – 1. Dette er det største kendte primtal. Hvis dens binære notation har en forholdsvis kompakt form, vil den tage ikke mindre end 13 millioner tegn for at afbilde den i decimalform. Den blev fundet i 2017 som en del af et projekt om at søge efter Mersenne-numre. Hvis entusiaster fortsætter med at arbejde i denne retning, er det usandsynligt, at de på det nuværende udviklingsniveau af computerteknologi i den nærmeste fremtid vil være i stand til at finde et Mersenne-nummer en størrelsesorden større end 277 232 917- 1, selvom sådanden heldige vinder modtager US$150.000.
- Hugoplex. Her tager vi bare 1 og tilføjer nuller efter den i mængden af 1 googol. Du kan skrive dette tal som 10^10^100. Det er umuligt at repræsentere det i decimalform, for hvis hele universets rum er fyldt med stykker papir, på hver af hvilke 0 ville blive skrevet med en "Word"-skriftstørrelse på 10, så er det i dette tilfælde kun halvdelen af alle 0 efter 1 ville blive opnået for googolplex-tallet.
- 10^10^10^10^10^1.1. Dette er et tal, der viser antallet af år, hvorefter vores univers ifølge Poincaré-sætningen, som følge af tilfældige kvanteudsving, vil vende tilbage til en tilstand tæt på i dag.
Hvordan Grahams tal opstod
I 1977 offentliggjorde den velkendte videnskabspopulær Martin Gardner en artikel i Scientific American om Grahams bevis på et af problemerne i Ramses teori. I den kaldte han grænsen fastsat af videnskabsmanden for det største antal, der nogensinde er blevet brugt i seriøse matematiske ræsonnementer.
Hvem er Ronald Lewis Graham
Forskeren, nu i 80'erne, blev født i Californien. I 1962 modtog han en Ph. D i matematik fra University of Berkeley. Han arbejdede hos Bell Labs i 37 år og flyttede senere til AT&T Labs. Videnskabsmanden samarbejdede aktivt med en af det 20. århundredes største matematikere, Pal Erdős, og er vinderen af mange prestigefyldte priser. Grahams videnskabelige bibliografi indeholder mere end 320 videnskabelige artikler.
I midten af 70'erne var videnskabsmanden interesseret i problemet forbundet med teorienRamsey. I dets bevis blev den øvre grænse for løsningen bestemt, hvilket er et meget stort tal, efterfølgende opkaldt efter Ronald Graham.
Hypercube-problem
For at forstå essensen af Graham-nummeret skal du først forstå, hvordan det blev opnået.
Forskeren og hans kollega Bruce Rothschild løste følgende problem:
Der er en n-dimensionel hyperkube. Alle par af dets hjørner er forbundet på en sådan måde, at der opnås en komplet graf med 2knudepunkter. Hver af dens kanter er farvet enten blå eller rød. Det var påkrævet at finde det mindste antal hjørner, som en hyperkube skulle have, så hver sådan farvning indeholder en komplet monokromatisk subgraf med 4 hjørner liggende i samme plan.
Beslutning
Graham og Rothschild beviste, at problemet har en løsning N', der opfylder betingelsen 6 ⩽ N' ⩽N, hvor N er et veldefineret, meget stort tal.
Den nedre grænse for N blev efterfølgende forfinet af andre videnskabsmænd, som beviste, at N må være større end eller lig med 13. Således blev udtrykket for det mindste antal hjørner af en hyperkube, der opfylder betingelserne præsenteret ovenfor. 13 ⩽ N'⩽ N.
Knuths pilnotation
Før du definerer Graham-tallet, bør du gøre dig bekendt med metoden til dets symbolske repræsentation, da hverken decimal eller binær notation er absolut egnet til dette.
I øjeblikket bruges Knuths pilebetegnelse til at repræsentere denne mængde. Ifølge hende:
ab=en "pil op" b.
Til driften af multipel eksponentiering blev posten introduceret:
a "pil op" "pil op" b=ab="et tårn bestående af a i mængden af b stykker."
Og til pentation, dvs. symbolsk betegnelse for gentagen eksponentiering af den forrige operator, brugte Knuth allerede 3 pile.
Ved at bruge denne notation for Graham-tallet har vi "pile"-sekvenser indlejret i hinanden, i mængden af 64 stk.
Skala
Deres berømte tal, som pirrer fantasien og udvider grænserne for den menneskelige bevidsthed, og tager det ud over universets grænser, Graham og hans kolleger opnåede det som en øvre grænse for tallet N i beviset for hyperkuben problem præsenteret ovenfor. Det er ekstremt svært for et almindeligt menneske at forestille sig, hvor stor dens omfang er.
Spørgsmålet om antallet af tegn, eller som det nogle gange fejlagtigt siges, nuller i Grahams tal, er af interesse for næsten alle, der hører om denne værdi for første gang.
Det er tilstrækkeligt at sige, at vi har at gøre med en hurtigt voksende sekvens, der består af 64 medlemmer. Selv dens første term er umulig at forestille sig, da den består af n "tårne", bestående af 3-to. Allerede dens "nederste etage" på 3 tripler er lig med 7.625.597.484.987, dvs. den overstiger 7 milliarder, hvilket vil sige omkring 64. etage (ikke medlem!). Det er således på nuværende tidspunkt umuligt at sige præcist, hvad Graham-tallet er, da det ikke er nok at beregne det.den kombinerede kraft af alle de computere, der findes på Jorden i dag.
Rekorden brudt?
I processen med at bevise Kruskals teorem blev Grahams nummer "smidt af sin piedestal". Videnskabsmanden foreslog følgende problem:
Der er en uendelig række af endelige træer. Kruskal beviste, at der altid eksisterer et udsnit af en graf, som både er en del af en større graf og dens nøjagtige kopi. Denne udtalelse rejser ingen tvivl, da det er indlysende, at der altid vil være en nøjagtig gentagende kombination i det uendelige
Senere indsnævrede Harvey Friedman dette problem noget ved kun at overveje sådanne acykliske grafer (træer), at der for en bestemt graf med koefficient i højst er (i + k) hjørner. Han besluttede at finde ud af, hvad antallet af acykliske grafer skulle være, så det med denne metode til deres opgave altid ville være muligt at finde et undertræ, der ville blive indlejret i et andet træ.
Som et resultat af forskning i dette spørgsmål, blev det fundet, at N, afhængigt af k, vokser med en enorm hastighed. Især hvis k=1, så er N=3. Men ved k=2 når N allerede 11. Det mest interessante begynder, når k=3. I dette tilfælde "starter N hurtigt" og når en værdi, der er mange gange større end Graham-tallet. For at forestille sig, hvor stort det er, er det nok at nedskrive tallet beregnet af Ronald Graham i form af G64 (3). Så vil Friedman-Kruskal-værdien (rev. FinKraskal(3)), være af størrelsesordenen G(G(187196)). Der opnås med andre ord en megaværdi, som er uendeligt meget størreet ufatteligt stort Graham-tal. På samme tid vil selv det være mindre end uendeligt med et gigantisk antal gange. Det giver mening at tale om dette koncept mere detaljeret.
Infinity
Nu hvor vi har forklaret, hvad Graham-tallet på fingrene er, bør vi forstå betydningen, der er blevet og bliver investeret i dette filosofiske koncept. Når alt kommer til alt, kan "uendelighed" og "et uendeligt stort antal" betragtes som identiske i en bestemt sammenhæng.
Det største bidrag til undersøgelsen af dette spørgsmål blev givet af Aristoteles. Antikkens store tænker opdelte uendelighed i potentiel og faktisk. Med det sidste mente han virkeligheden af eksistensen af uendelige ting.
Ifølge Aristoteles er kilderne til ideer om dette grundlæggende koncept:
- tid;
- adskillelse af værdier;
- konceptet om grænsen og eksistensen af noget hinsides den;
- den kreative naturs uudtømmelighed;
- tænkning, der ikke har nogen grænser.
I den moderne fortolkning af uendelighed kan du ikke angive et kvantitativt mål, så søgningen efter det største tal kan fortsætte for evigt.
Konklusion
Kan metaforen "Gaze into infinity" og Grahams nummer betragtes som synonyme i en eller anden forstand? Snarere ja og nej. Begge dele er umulige at forestille sig, selv med den stærkeste fantasi. Men som allerede nævnt kan det ikke betragtes som "mest, mest." En anden ting er, at der i øjeblikket ikke er etableret værdier, der er større end Graham-talletfysisk sans.
Det har heller ikke egenskaberne for et uendeligt tal, såsom:
- ∞ + 1=∞;
- der er et uendeligt antal af både ulige og lige tal;
- ∞ - 1=∞;
- antallet af ulige tal er nøjagtigt halvdelen af alle tal;
- ∞ + ∞=∞;
- ∞/2=∞.
For at opsummere: Grahams tal er det største tal i praksis med matematiske beviser, ifølge Guinness Rekordbog. Der er dog tal, der er mange gange større end denne værdi.
Sandsynligvis vil der i fremtiden være behov for endnu større "giganter", især hvis en person går ud over vores solsystem eller opfinder noget utænkeligt på det nuværende niveau af vores bevidsthed.
