Et af de sværeste og mest uforståelige emner inden for universitetsmatematik er integration og differentialregning. Du skal kende og forstå disse begreber, samt kunne anvende dem. Mange tekniske universitetsdiscipliner er bundet til differentialer og integraler.
Kort information om ligninger
Disse ligninger er et af de vigtigste matematiske begreber i uddannelsessystemet. En differentialligning er en ligning, der relaterer de uafhængige variable, den funktion, der skal findes, og afledte af denne funktion til de variable, der antages at være uafhængige. Differentialregning til at finde en funktion af én variabel kaldes almindelig. Hvis den ønskede funktion afhænger af flere variable, så taler man om en partiel differentialligning.
Faktisk handler det om integration at finde et bestemt svar på ligningen, og løsningsmetoden bestemmes af typen af ligning.
Førsteordensligninger
En førsteordens differentialligning er en ligning, der kan beskrive en variabel, en ønsket funktion og dens første afledede. Sådanne ligninger kan gives i tre former: eksplicit, implicit, differential.
Koncepter, der skal løses
Initial condition - indstilling af værdien af den ønskede funktion for en given værdi af en variabel, der er uafhængig.
Løsning af en differentialligning - enhver differentierbar funktion, nøjagtigt substitueret i den oprindelige ligning, gør den til identisk lig. Den opnåede løsning, som ikke er eksplicit, er integralet af ligningen.
Den generelle løsning af differentialligninger er en funktion y=y(x;C), som kan opfylde følgende vurderinger:
- En funktion kan kun have én vilkårlig konstant С.
- Den resulterende funktion skal være en løsning på ligningen for enhver vilkårlig værdi af en vilkårlig konstant.
- Med en given starttilstand kan en vilkårlig konstant defineres på en unik måde, så den resulterende bestemte løsning vil være i overensstemmelse med den givne tidlige starttilstand.
I praksis bruges Cauchy-problemet ofte - at finde en løsning, der er speciel og kan sammenlignes med den betingelse, der var sat i begyndelsen.
Cauchys sætning er en sætning, der understreger eksistensen og unikheden af en bestemt løsning i differentialregning.
Geometrisk sans:
- Generel løsning y=y(x;C)ligning er det samlede antal integralkurver.
- Differentialregning giver dig mulighed for at forbinde koordinaterne for et punkt i XOY-planet og tangenten tegnet til integralkurven.
- Indstilling af den oprindelige tilstand betyder at indstille et punkt på flyet.
- For at løse Cauchy-problemet betyder det, at fra hele sættet af integralkurver, der repræsenterer den samme løsning af ligningen, er det nødvendigt at vælge den eneste, der passerer gennem det eneste mulige punkt.
- Opfyldelse af Cauchy-sætningens betingelser i et punkt betyder, at en integralkurve (i øvrigt kun én) nødvendigvis passerer gennem det valgte punkt i planet.
Separerbar variabelligning
Pr. definition er en differentialligning en ligning, hvor dens højre side beskriver eller afspejles som et produkt (nogle gange et forhold) af to funktioner, den ene afhænger kun af "x", og den anden - kun på "y ". Et tydeligt eksempel for denne type: y'=f1(x)f2(y).
For at løse ligninger af en bestemt form skal du først transformere den afledte y'=dy/dx. Derefter, ved at manipulere ligningen, skal du bringe den til en form, hvor du kan integrere de to dele af ligningen. Efter de nødvendige transformationer integrerer vi begge dele og forenkler resultatet.
homogene ligninger
Pr. definition kan en differentialligning kaldes homogen, hvis den har følgende form: y'=g(y/x).
I dette tilfælde bruges erstatningen y/x=oftestt(x).
For at løse sådanne ligninger er det nødvendigt at reducere en homogen ligning til en form med adskillelige variable. For at gøre dette skal du udføre følgende handlinger:
- Vis, der udtrykker den afledede af den oprindelige funktion, fra enhver oprindelig funktion som en ny ligning.
- Det næste trin er at transformere den resulterende funktion til formen f(x;y)=g(y/x). Med enklere ord, lad ligningen kun indeholde forholdet y/x og konstanter.
- Foretag følgende erstatning: y/x=t(x); y=t(x)x; y'=t'x + t. Den foretagne substitution vil hjælpe med at opdele variablerne i ligningen og gradvist bringe den til en enklere form.
Lineære ligninger
Definitionen af sådanne ligninger er som følger: en lineær differentialligning er en ligning, hvor dens højre side er udtrykt som et lineært udtryk i forhold til den oprindelige funktion. Den ønskede funktion i dette tilfælde: y'=a(x)y + b(x).
Lad os omformulere definitionen som følger: enhver ligning af 1. orden bliver lineær i sin form, hvis den oprindelige funktion og dens afledte er inkluderet i førstegradsligningen og ikke ganges med hinanden. Den "klassiske form" af en lineær differentialligning har følgende struktur: y' + P(x)y=Q(x).
Før man løser en sådan ligning, skal den konverteres til den "klassiske form". Næste trin vil være valget af løsningsmetoden: Bernoulli-metoden eller Lagrange-metoden.
Løsning af ligningen medved at bruge metoden introduceret af Bernoulli, indebærer substitution og reduktion af en lineær differentialligning til to ligninger med separate variable i forhold til funktionerne U(x) og V(x), som blev givet i deres oprindelige form.
Lagrange-metoden er at finde en generel løsning på den oprindelige ligning.
- Det er nødvendigt at finde den samme løsning af den homogene ligning. Efter søgning har vi funktionen y=y(x, C), hvor C er en vilkårlig konstant.
- Vi leder efter en løsning til den oprindelige ligning i samme form, men vi betragter C=C(x). Vi erstatter funktionen y=y(x, C(x)) i den oprindelige ligning, finder funktionen C(x) og skriver løsningen af den generelle oprindelige ligning ned.
Bernoulli-ligning
Bernoullis ligning - hvis højre side af regnestykket har formen f(x;y)=a(x)y + b(x)yk, hvor k er enhver mulig rationel numerisk værdi, ikke som en eksempler på tilfælde, hvor k=0 og k=1.
Hvis k=1, bliver beregningen adskillelig, og når k=0, forbliver ligningen lineær.
Lad os overveje det generelle tilfælde af løsning af denne type ligning. Vi har standard Bernoulli-ligningen. Den skal reduceres til en lineær, for dette skal du dividere ligningen med yk. Efter denne operation skal du erstatte z(x)=y1-k. Efter en række transformationer vil ligningen blive reduceret til en lineær, oftest ved substitutionsmetoden z=UV.
Ligninger i samlede differentialer
Definition. En ligning med strukturen P(x;y)dx + Q(x;y)dy=0 kaldes en hel ligningdifferentialer, hvis følgende betingelse er opfyldt (i denne betingelse er "d" en delvis differential): dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx.
Alle førsteordens differentialligninger, der er overvejet tidligere, kan vises som differentialer.
Sådanne beregninger løses på flere måder. Men de begynder dog alle med et tilstandstjek. Hvis betingelsen er opfyldt, så er den region længst til venstre i ligningen den totale differential af den endnu ukendte funktion U(x;y). Derefter, i overensstemmelse med ligningen, vil dU (x; y) være lig med nul, og derfor vil det samme integral af ligningen i samlede differentialer blive vist på formen U (x; y) u003d C. Derfor vil løsning af ligningen reduceres til at finde funktionen U (x; y).
Integrationsfaktor
Hvis betingelsen dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx ikke er opfyldt i ligningen, så har ligningen ikke den form, som vi betragtede ovenfor. Men nogle gange er det muligt at vælge en eller anden funktion M(x;y), når den ganges med hvilken ligningen har form af en ligning i fuld "diffurs". Funktionen M (x;y) omtales som den integrerende faktor.
En integrator kan kun findes, når den bliver en funktion af kun én variabel.
