Selv i skolen stifter alle elever kendskab til begrebet "Euklidisk geometri", hvis hovedbestemmelser er fokuseret omkring flere aksiomer baseret på sådanne geometriske elementer som punkt, plan, linje, bevægelse. Alle sammen danner det, der længe har været kendt under udtrykket "Euklidisk rum".
Euklidisk rum, hvis definition er baseret på begrebet skalar multiplikation af vektorer, er et speci altilfælde af et lineært (affint) rum, der opfylder en række krav. For det første er skalarproduktet af vektorer absolut symmetrisk, dvs. vektoren med koordinater (x;y) er kvantitativt identisk med vektoren med koordinater (y;x), men i modsat retning.
For det andet, hvis skalarproduktet af en vektor med sig selv udføres, vil resultatet af denne handling være positivt. Den eneste undtagelse vil være tilfældet, når de indledende og endelige koordinater for denne vektor er lig med nul: i dette tilfælde vil dens produkt med sig selv også være lig med nul.
For det tredje er det skalære produkt distributivt, det vil sige, at det er muligt at dekomponere en af dets koordinater til summen af to værdier, hvilket ikke vil medføre ændringer i det endelige resultat af skalar multiplikation af vektorer. Endelig, for det fjerde, når vektorer ganges med det samme reelle tal, vil deres skalarprodukt også stige med den samme faktor.
Hvis alle disse fire betingelser er opfyldt, kan vi med tillid sige, at vi har et euklidisk rum.
Euklidisk rum fra et praktisk synspunkt kan karakteriseres ved følgende specifikke eksempler:
- Det enkleste tilfælde er tilstedeværelsen af et sæt vektorer med et skalarprodukt defineret i henhold til geometriens grundlæggende love.
- Euklidisk rum vil også blive opnået, hvis vi med vektorer mener et bestemt endeligt sæt af reelle tal med en given formel, der beskriver deres skalære sum eller produkt.
- Et særligt tilfælde af euklidisk rum er det såkaldte nulrum, som opnås, hvis skalarlængden af begge vektorer er lig med nul.
Euklidisk rum har en række specifikke egenskaber. For det første kan skalarfaktoren tages ud af parentes både fra den første og anden faktor af skalarproduktet, resultatet heraf vil ikke ændre sig på nogen måde. For det andet, sammen med fordelingen af det første element i skalarenprodukt, virker fordelingen af det andet element også. Ud over den skalære sum af vektorer sker der desuden også fordelingsevne ved vektorsubtraktion. For det tredje, når en vektor skalarisk ganges med nul, vil resultatet også være nul.
Det euklidiske rum er således det vigtigste geometriske begreb, der bruges til at løse problemer med den indbyrdes arrangement af vektorer i forhold til hinanden, som er karakteriseret ved et begreb som det skalære produkt.
