I matematik er inverse funktioner gensidigt tilsvarende udtryk, der bliver til hinanden. For at forstå, hvad dette betyder, er det værd at overveje et specifikt eksempel. Lad os sige, at vi har y=cos(x). Hvis vi tager cosinus fra argumentet, så kan vi finde værdien af y. Til dette skal du naturligvis have x. Men hvad hvis spilleren er givet i første omgang? Det er her, det kommer til sagens kerne. For at løse problemet kræves brugen af en omvendt funktion. I vores tilfælde er dette lysbuen cosinus.
Efter alle transformationerne får vi: x=arccos(y).
Det vil sige, for at finde en funktion invers til en given funktion, er det nok bare at udtrykke et argument fra den. Men dette virker kun, hvis resultatet vil have en enkelt værdi (mere om det senere).
Generelt kan dette faktum skrives som følger: f(x)=y, g(y)=x.
Definition
Lad f være en funktion, hvis domæne er mængden X, ogværdiintervallet er mængden Y. Så, hvis der findes g, hvis domæner udfører modsatte opgaver, så er f reversibel.
Desuden er g i dette tilfælde unik, hvilket betyder, at der er præcis én funktion, der opfylder denne egenskab (ikke mere eller mindre). Så kaldes den den inverse funktion, og på skrift betegnes den således: g(x)=f -1(x).
Med andre ord kan de ses som en binær relation. Reversibilitet finder kun sted, når et element i sættet svarer til en værdi fra en anden.
Der er ikke altid en omvendt funktion. For at gøre dette skal hvert element y є Y højst svare til en x є X. Så kaldes f en-til-en eller injektion. Hvis f -1 tilhører Y, så skal hvert element i dette sæt svare til nogle x ∈ X. Funktioner med denne egenskab kaldes surjektioner. Det gælder per definition, hvis Y er et billede f, men det er ikke altid tilfældet. For at være omvendt skal en funktion både være en indsprøjtning og en indsprøjtning. Sådanne udtryk kaldes bijektioner.
Eksempel: kvadrat- og rodfunktioner
Funktionen er defineret på [0, ∞) og givet af formlen f (x)=x2.
Så er det ikke injektiv, fordi hvert muligt udfald Y (undtagen 0) svarer til to forskellige X'er - et positivt og et negativt, så det er ikke reversibelt. I dette tilfælde vil det være umuligt at få de indledende data fra de modtagne, hvilket er i modstridteorier. Det vil være ikke-injektiv.
Hvis definitionsdomænet er betinget begrænset til ikke-negative værdier, vil alt fungere som før. Så er den bijektiv og dermed inverterbar. Den inverse funktion her kaldes positiv.
Bemærkning ved indtastning
Lad betegnelsen f -1 (x) muligvis forvirre en person, men den må under ingen omstændigheder bruges sådan: (f (x)) - 1 . Det refererer til et helt andet matematisk begreb og har intet at gøre med den inverse funktion.
Som en generel regel bruger nogle forfattere udtryk som sin-1 (x).
Men andre matematikere mener, at dette kan skabe forvirring. For at undgå sådanne vanskeligheder er inverse trigonometriske funktioner ofte betegnet med præfikset "bue" (fra den latinske bue). I vores tilfælde taler vi om arcsine. Du kan også lejlighedsvis se præfikset "ar" eller "inv" for nogle andre funktioner.
