Det er umuligt at påstå, at du kan matematik, hvis du ikke ved, hvordan man plotter grafer, tegner uligheder på en koordinatlinje og arbejder med koordinatakser. Den visuelle komponent i videnskab er afgørende, for uden visuelle eksempler i formler og beregninger kan man nogle gange blive meget forvirret. I denne artikel vil vi se, hvordan man arbejder med koordinatakser og lærer, hvordan man bygger simple funktionsgrafer.
Application
Koordinatlinjen er grundlaget for de enkleste typer grafer, som en elev møder på sin uddannelsesvej. Det bruges i næsten alle matematiske emner: når man beregner hastighed og tid, projicerer størrelsen af objekter og beregner deres areal, i trigonometri når man arbejder med sinus og cosinus.
Hovedværdien af en sådan direkte linje er synlighed. Fordi matematik er en videnskab, der kræver et højt niveau af abstrakt tænkning, hjælper grafer med at repræsentere et objekt i den virkelige verden. Hvordan opfører han sig? På hvilket tidspunkt i rummet vilet par sekunder, minutter, timer? Hvad kan man sige om det i sammenligning med andre objekter? Hvad er dens hastighed på et tilfældigt valgt tidspunkt? Hvordan karakteriserer man hans bevægelse?
Og vi taler om hastighed af en grund - den vises ofte med funktionsgrafer. Og de kan også vise ændringer i temperatur eller tryk inde i objektet, dets størrelse, orientering i forhold til horisonten. Derfor er det ofte også nødvendigt at bygge en koordinatlinje i fysik.
Endimensional graf
Der er et koncept om multidimensionalitet. I et-dimensionelt rum er kun ét tal nok til at bestemme placeringen af et punkt. Dette er præcis tilfældet med brugen af koordinatlinjen. Hvis rummet er todimensionelt, kræves der to tal. Diagrammer af denne type bruges meget oftere, og vi vil helt sikkert overveje dem lidt senere i artiklen.
Hvad kan ses ved hjælp af punkter på aksen, hvis der kun er én akse? Du kan se størrelsen af objektet, dets position i rummet i forhold til et eller andet "nul", dvs. det punkt, der er valgt som referencepunkt.
Ændring af parametre over tid vil ikke være synlig, da alle aflæsninger vil blive vist i et bestemt øjeblik. Du skal dog starte et sted! Så lad os komme i gang.
Sådan bygger man en koordinatakse
Først skal du tegne en vandret linje - dette vil være vores akse. På højre side "skærp" den, så den ligner en pil. Således vil vi angive den retning, som tallene vil være iøge. I nedadgående retning er pilen norm alt ikke placeret. Traditionelt peger aksen mod højre, så vi følger bare denne regel.
Lad os sætte et nul-mærke, som viser oprindelsen af koordinaterne. Dette er selve det sted, hvorfra nedtællingen tages, uanset om det er størrelse, vægt, hastighed eller noget andet. Ud over nul skal vi nødvendigvis udpege den såkaldte divisionspris, dvs. indføre en enhedsstandard, i overensstemmelse med hvilken vi vil plotte visse mængder på aksen. Dette skal gøres for at kunne finde længden af segmentet på koordinatlinjen.
Sæt prikker eller "hak" på linjen gennem lige stor afstand fra hinanden, og skriv henholdsvis 1, 2, 3 og så videre under dem. Og nu er alt klar. Men med den resulterende tidsplan skal du stadig lære at arbejde.
Typer af punkter på koordinatlinjen
Fra første blik på tegningerne foreslået i lærebøgerne, bliver det klart: punkterne på aksen kan udfyldes eller ikke udfyldes. Tror du, det er en tilfældighed? Slet ikke! En "solid" prik bruges til en ikke-streng ulighed - en, der lyder som "større end eller lig med". Hvis vi har brug for strengt at begrænse intervallet (for eksempel kan "x" tage værdier fra nul til en, men inkluderer det ikke), vil vi bruge et "hult" punkt, det vil sige en lille cirkel på aksen. Det skal bemærkes, at elever ikke rigtig bryder sig om strenge uligheder, fordi de er sværere at arbejde med.
Afhænger af hvilke point dubruge på kortet, vil de indbyggede intervaller også blive kaldt. Hvis uligheden på begge sider ikke er streng, så får vi et segment. Hvis det på den ene side viser sig at være "åbent", vil det blive kaldt et halvt interval. Endelig, hvis en del af en linje er afgrænset på begge sider af hule punkter, vil det blive kaldt et interval.
Fly
Når vi konstruerer to rette linjer på koordinatplanet, kan vi allerede overveje graferne for funktioner. Lad os sige, at den vandrette linje er tidsaksen, og den lodrette linje er afstanden. Og nu er vi i stand til at bestemme, hvilken afstand objektet vil overvinde på et minut eller en times rejse. Arbejdet med et fly gør det således muligt at overvåge ændringen i et objekts tilstand. Dette er meget mere interessant end at udforske en statisk tilstand.
Den enkleste graf på en sådan plan er en ret linje, den afspejler funktionen Y(X)=aX + b. Bøjer linjen? Det betyder, at objektet ændrer sine karakteristika under undersøgelsen.
Forestil dig, at du står på taget af en bygning og holder en sten i din udstrakte hånd. Når du slipper den, vil den flyve ned og starte sin bevægelse fra nul hastighed. Men på et sekund vil han overvinde 36 kilometer i timen. Stenen vil fortsætte med at accelerere yderligere, og for at tegne dens bevægelse på kortet, skal du måle dens hastighed på flere tidspunkter ved at sætte punkter på aksen de rigtige steder.
Mærker på den vandrette koordinatlinje hedder som standard henholdsvis X1, X2, X3 og på den lodrette - Y1, Y2, Y3. projiceredem til planet og finde skæringspunkter, finder vi fragmenter af det resulterende mønster. Forbinder vi dem med en linje, får vi en graf over funktionen. I tilfælde af en faldende sten vil den kvadratiske funktion se ud: Y(X)=aXX + bX + c.
Skala
Det er selvfølgelig ikke nødvendigt at sætte heltalsværdier ved siden af divisioner med en lige linje. Hvis du overvejer bevægelsen af en snegl, der kravler med en hastighed på 0,03 meter i minuttet, skal du indstille som værdier på koordinatbrøken. I dette tilfælde skal du indstille skalaintervallet til 0,01 meter.
Det er især praktisk at udføre sådanne tegninger i en notesbog i et bur - her kan du med det samme se, om der er plads nok på arket til dit diagram, hvis du går ud over marginerne. Det er ikke svært at beregne din styrke, fordi cellens bredde i en sådan notesbog er 0,5 centimeter. Det tog - reducerede billedet. Ændringer i diagrammets skala vil ikke få det til at miste eller ændre dets egenskaber.
Punkt- og segmentkoordinater
Når en matematikopgave gives i en lektion, kan den indeholde parametrene for forskellige geometriske former, både i form af sidelængder, omkreds, areal og i form af koordinater. I dette tilfælde skal du muligvis både bygge en form og få nogle data tilknyttet den. Spørgsmålet opstår: hvordan finder man de nødvendige oplysninger på koordinatlinjen? Og hvordan bygger man en form?
Vi taler for eksempel om et punkt. Så vil der vises et stort bogstav i problemets tilstand, og flere tal vises i parentes, oftest to (det betyder, at vi tæller i todimensionelt rum). Hvis der er tre tal i parentes, adskilt af et semikolon eller et komma, så er dette et tredimensionelt rum. Hver af værdierne er en koordinat på den tilsvarende akse: først langs vandret (X), derefter langs lodret (Y).
Husk, hvordan man tegner et segment? Du bestod det på geometri. Hvis der er to punkter, kan der trækkes en linje mellem dem. Deres koordinater er angivet i parentes, hvis der optræder et segment i opgaven. For eksempel: A(15, 13) - B(1, 4). For at bygge en sådan linje skal du finde og markere punkter på koordinatplanet og derefter forbinde dem. Det var det!
Og alle polygoner kan, som du ved, tegnes ved hjælp af segmenter. Problem løst.
Beregninger
Lad os sige, at der er et objekt, hvis position langs X-aksen er karakteriseret ved to tal: det starter ved punktet med koordinat (-3) og slutter ved (+2). Hvis vi vil vide længden af dette objekt, så skal vi trække det mindre tal fra det større tal. Bemærk, at et negativt tal absorberer tegnet for subtraktionen, fordi "et minus gange et minus er lig med et plus." Så vi tilføjer (2+3) og får 5. Dette er det påkrævede resultat.
Et andet eksempel: vi får endepunktet og længden af objektet, men ikke startpunktet (og vi skal finde det). Lad positionen af det kendte punkt være (6), og størrelsen af objektet under undersøgelse være (4). Ved at trække længden fra den endelige koordinat får vi svaret. I alt: (6 - 4)=2,
Negative tal
Det kræves ofte i praksis at arbejde med negative værdier. I dette tilfælde vil vibevæge sig til venstre langs koordinataksen. For eksempel flyder en genstand 3 centimeter høj i vand. En tredjedel af det er nedsænket i væske, to tredjedele er i luft. Når vi derefter vælger vandoverfladen som akse, får vi to tal ved hjælp af de enkleste aritmetiske beregninger: det øverste punkt på objektet har koordinaten (+2), og det nederste - (-1) centimeter.
Det er let at se, at i tilfælde af et fly, har vi fire fjerdedele af koordinatlinjen. Hver af dem har sit eget nummer. I den første (øverste højre) del vil der være punkter med to positive koordinater, i den anden - øverst til venstre - vil værdierne af X-aksen være negative, og langs Y-aksen - positive. Den tredje og fjerde tælles yderligere mod uret.
Vigtig ejendom
Du ved, at en linje kan repræsenteres som et uendeligt antal punkter. Vi kan se så omhyggeligt, som vi vil, et vilkårligt antal værdier i hver retning af aksen, men vi møder ikke gentagne værdier. Det virker naivt og forståeligt, men det udsagn stammer fra et vigtigt faktum: hvert tal svarer til ét og kun ét punkt på koordinatlinjen.
Konklusion
Husk at alle akser, figurer og, hvis det er muligt, grafik skal bygges på en lineal. Måleenheder er ikke opfundet af mennesker tilfældigt - hvis du laver en fejl, når du tegner, risikerer du at se et andet billede, end det burde have været.
Vær forsigtig og nøjagtig i plotning og beregninger. Som enhver videnskab, der studeres i skolen, elsker matematik nøjagtighed. Sæt en lille indsats og godtevalueringerne vil ikke vente længe på at komme.
