Undersøgelsen af egenskaberne af gasaggregatets tilstand af stof er et af de vigtige områder i moderne fysik. Tager man gasser i betragtning i mikroskopisk skala, kan man få alle de makroskopiske parametre i systemet. Denne artikel vil afsløre et vigtigt spørgsmål om den molekylære kinetiske teori om gasser: hvad er Maxwell-fordelingen af molekyler i form af hastigheder.
Historisk baggrund
Ideen om gas som et system af mikroskopiske bevægelige partikler opstod i det antikke Grækenland. Det tog mere end 1700 år for videnskaben at udvikle det.
Grundlæggeren af den moderne molekylær-kinetiske teori (MKT) om gas er rimeligt at overveje Daniil Bernoulli. I 1738 udgav han et værk kaldet "Hydrodynamics". I den skitserede Bernoulli ideerne fra MKT, som er blevet brugt den dag i dag. Så videnskabsmanden troede, at gasser er sammensat af partikler, der bevæger sig tilfældigt i alle retninger. Talrige sammenstødpartikler med karvægge opfattes som tilstedeværelsen af tryk i gasser. Partikelhastigheder er tæt forbundet med systemets temperatur. Det videnskabelige samfund accepterede ikke Bernoullis dristige ideer, fordi loven om energibevarelse endnu ikke var blevet etableret.
Efterfølgende var mange videnskabsmænd engageret i at bygge en kinetisk model af gasser. Blandt dem skal nævnes Rudolf Clausius, som i 1857 skabte en simpel gasmodel. I den lagde videnskabsmanden særlig vægt på tilstedeværelsen af translationelle, rotations- og vibrationsgrader af frihed i molekyler.
I 1859, ved at studere Clausius' arbejde, formulerede James Maxwell den såkaldte Maxwell-fordeling over molekylære hastigheder. Faktisk bekræftede Maxwell ideerne fra MKT og bakkede dem op med et matematisk apparat. Efterfølgende generaliserede Ludwig Boltzmann (1871) konklusionerne af Maxwell-fordelingen. Han postulerede en mere generel statistisk fordeling af molekyler over hastigheder og energier. Det er i øjeblikket kendt som Maxwell-Boltzmann-distributionen.
Ideel gas. Grundlæggende postulater af ILC
For at forstå, hvad Maxwell-distributionsfunktionen er, skal du klart forstå de systemer, som denne funktion er anvendelig til. Vi taler om en ideel gas. I fysik forstås dette begreb som et flydende stof, som består af praktisk t alt dimensionsløse partikler, der ikke har potentiel energi. Disse partikler bevæger sig med høje hastigheder, så deres adfærd er fuldstændig bestemt af kinetisk energi. Desuden er afstandene mellem partiklerne for store tilsammenlignet med deres størrelser, så sidstnævnte er forsømt.
Ideelle gasser er beskrevet i MKT. Dens vigtigste postulater er som følger:
- gassystemer består af et stort antal frie partikler;
- partikler bevæger sig tilfældigt med forskellige hastigheder i forskellige retninger langs lige baner;
- partikler kolliderer med karvægge elastisk (sandsynligheden for, at partikler kolliderer med hinanden er lav på grund af deres lille størrelse);
- Systemets temperatur er entydigt bestemt af partiklernes gennemsnitlige kinetiske energi, som bevares i tid, hvis der etableres termodynamisk ligevægt i systemet.
Maxwells distributionslov
Hvis en person havde et instrument, hvormed det var muligt at måle hastigheden af et enkelt gasmolekyle, ville han, efter at have udført et passende eksperiment, blive overrasket. Eksperimentet ville vise, at hvert molekyle i ethvert gasformigt system bevæger sig med en fuldstændig vilkårlig hastighed. I dette tilfælde, inden for rammerne af ét system i termisk ligevægt med miljøet, vil både meget langsomme og meget hurtige molekyler blive detekteret.
Maxwells lov om hastighedsfordeling af gasmolekyler er et værktøj, der giver dig mulighed for at bestemme sandsynligheden for at detektere partikler med en given hastighed v i det undersøgte system. Den tilsvarende funktion ser således ud:
f(v)=(m/(2pikT))3/24piv2 exp(-mv2/(2kT)).
I dette udtryk, m -partikel (molekyle) masse, k - Boltzmanns konstant, T - absolut temperatur. Hvis den kemiske natur af partiklerne (værdien af m) er kendt, så er funktionen f(v) entydigt bestemt af den absolutte temperatur. Funktionen f(v) kaldes sandsynlighedstætheden. Hvis vi tager integralet fra det for en eller anden hastighedsgrænse (v; v+dv), så får vi antallet af partikler Ni, som har hastigheder i det angivne interval. Hvis vi derfor tager integralet af sandsynlighedstætheden f(v) for hastighedsgrænserne fra 0 til ∞, får vi det samlede antal molekyler N i systemet.
Grafisk repræsentation af sandsynlighedstætheden f(v)
Sandsynlighedstæthedsfunktionen har en noget kompleks matematisk form, så det er ikke let at repræsentere dens adfærd ved en given temperatur. Dette problem kan løses, hvis du afbilder det på en todimensionel graf. Et skematisk billede af Maxwell-fordelingsgrafen er vist nedenfor i figuren.
Vi ser, at det starter fra nul, da hastigheden v af molekyler ikke kan have negative værdier. Grafen slutter et sted i området med høje hastigheder og falder jævnt til nul (f(∞)->0). Følgende egenskab er også slående: den glatte kurve er asymmetrisk, den aftager kraftigere ved små hastigheder.
Et vigtigt træk ved opførselen af sandsynlighedstæthedsfunktionen f(v) er tilstedeværelsen af et udt alt maksimum på den. Ifølge den fysiske betydning af funktionen svarer dette maksimum til den mest sandsynlige værdi af molekylernes hastigheder i gassensystem.
Vigtige hastigheder for funktionen f(v)
Sandsynlighedstæthedsfunktionen f(v) og dens grafiske repræsentation giver os mulighed for at definere tre vigtige typer hastighed.
Den første type hastighed, der er indlysende, og som blev nævnt ovenfor, er den mest sandsynlige hastighed v1. På grafen svarer dens værdi til maksimum af funktionen f(v). Det er denne hastighed og værdier tæt på den, der vil have de fleste af partiklerne i systemet. Det er ikke svært at beregne det, for dette er det nok at tage den første afledede med hensyn til hastigheden af funktionen f(v) og sidestille den med nul. Som et resultat af disse matematiske operationer får vi det endelige resultat:
v1=√(2RT/M).
Her er R den universelle gaskonstant, M er den molære masse af molekyler.
Den anden type hastighed er dens gennemsnitlige værdi for alle N partikler. Lad os betegne det v2. Det kan beregnes ved at integrere funktionen vf(v) over alle hastigheder. Resultatet af den noterede integration vil være følgende formel:
v2=√(8RT/(piM)).
Fordi forholdet er 8/pi>2, er gennemsnitshastigheden altid lidt højere end den mest sandsynlige.
Enhver person, der ved lidt om fysik, forstår, at gennemsnitshastigheden v2 af molekyler skal være af stor betydning i et gassystem. Dette er dog en fejlagtig antagelse. Meget vigtigere er RMS-hastigheden. Lad os betegne detv3.
Ifølge definitionen er rod-middel-kvadrathastighed summen af kvadraterne af de individuelle hastigheder for alle partikler, divideret med antallet af disse partikler, og taget som kvadratroden. Det kan beregnes for Maxwell-fordelingen, hvis vi definerer integralet over alle hastigheder af funktionen v2f(v). Formlen for den gennemsnitlige kvadratiske hastighed vil have formen:
v3=√(3RT/M).
Equality viser, at denne hastighed er større end v2 og v1 for ethvert gassystem.
Alle betragtede typer hastigheder på Maxwell-fordelingsgrafen ligger således enten på yderkanten eller til højre for den.
Vigtigheden af v3
Det blev bemærket ovenfor, at den gennemsnitlige kvadratiske hastighed er vigtigere for at forstå de fysiske processer og egenskaber af et gassystem end den simple gennemsnitshastighed v2. Dette er sandt, eftersom den kinetiske energi af en ideel gas afhænger præcist af v3 og ikke af v2.
Hvis vi betragter en monoatomisk idealgas, så gælder følgende udtryk for den:
mv32/2=3/2kT.
Her repræsenterer hver del af ligningen den kinetiske energi af en partikel med massen m. Hvorfor indeholder udtrykket præcis værdien v3 og ikke gennemsnitshastigheden v2? Meget simpelt: Når man bestemmer den kinetiske energi af hver partikel, er dens individuelle hastighed v i kvadrat, derefter alle hastighederadderes og divideres med antallet af partikler N. Det vil sige, at proceduren til bestemmelse af den kinetiske energi i sig selv fører til værdien af den gennemsnitlige kvadratiske hastighed.
Afhængighed af funktion f(v) af temperatur
Vi har fastslået ovenfor, at sandsynlighedens tæthed for molekylære hastigheder entydigt afhænger af temperaturen. Hvordan vil funktionen ændre sig, hvis T øges eller formindskes? Diagrammet nedenfor hjælper med at besvare dette spørgsmål.
Det kan ses, at opvarmningen af det lukkede system fører til udtværing af toppen og dens forskydning mod højere hastigheder. En stigning i temperaturen fører til en stigning i alle typer hastigheder og til et fald i sandsynlighedens tæthed for hver af dem. Topværdien falder på grund af bevarelsen af antallet af partikler N i et lukket system.
Dernæst vil vi løse et par problemer for at konsolidere det modtagne teoretiske materiale.
Problem med nitrogenmolekyler i luften
Det er nødvendigt at beregne hastighederne v1, v2 og v3 for luftnitrogen ved en temperatur på 300 K (ca. 27 oC).
Den molære masse af nitrogen N2 er 28 g/mol. Ved at bruge ovenstående formler får vi:
v1=√(2RT/M)=√(28, 314300/0, 028)=422 m/s;
v2=√(8RT/(piM))=√(88, 314300/(3, 140, 028))=476 m/s;
v3=√(3RT/M)=√(38, 314300/0, 028)=517 m/s.
Oxygentankproblem
Oilten i cylinderen havde en bestemt temperatur T1. Derefter blev ballonen placeret i et koldere rum. Hvordan vil Maxwell-hastighedsfordelingsplottet for oxygenmolekyler ændre sig, når systemet kommer til termodynamisk ligevægt?
Når vi husker teorien, kan vi besvare spørgsmålet om problemet på denne måde: værdierne af alle typer hastigheder af molekyler vil falde, toppen af funktionen f(v) vil skifte til venstre, blive smallere og højere.
