Uligheder og ulighedssystemer er et af de emner, der undervises i i gymnasiets algebra. Sværhedsmæssigt er det ikke det sværeste, for det har simple regler (om dem lidt senere). Som regel lærer skolebørn ret nemt løsningen af ulighedssystemer. Det skyldes også, at lærere blot "træner" deres elever i dette emne. Og de kan ikke andet end at gøre dette, fordi det studeres i fremtiden med brug af andre matematiske størrelser, og det er også kontrolleret for OGE og Unified State Examination. I skolebøger er emnet uligheder og ulighedssystemer dækket meget detaljeret, så hvis du skal studere det, så er det bedst at ty til dem. Denne artikel er kun en omskrivning af meget materiale og kan indeholde nogle udeladelser.
Begrebet et system af uligheder
Hvis vi vender os til det videnskabelige sprog, kan vi definere begrebet "systemuligheder". Dette er sådan en matematisk model, der repræsenterer flere uligheder. Denne model kræver selvfølgelig en løsning, og den vil være det generelle svar på alle de uligheder i systemet, der er foreslået i opgaven (norm alt er det skrevet sådan, f.eks. eksempel: "Løs systemet med uligheder 4 x + 1 > 2 og 30 - x > 6… ").
Systemer af uligheder og ligningssystemer
I processen med at lære et nyt emne opstår der ofte misforståelser. På den ene side er alt klart og jeg vil hellere i gang med at løse opgaver, men på den anden side forbliver nogle øjeblikke i "skyggen", de er ikke godt forstået. Også nogle elementer af allerede erhvervet viden kan flettes sammen med ny. Der opstår ofte fejl som følge af denne overlapning.
Derfor, før vi går videre til analysen af vores emne, bør vi huske forskellene mellem ligninger og uligheder, deres systemer. For at gøre dette er det nødvendigt endnu en gang at afklare, hvad disse matematiske begreber er. En ligning er altid en lighed, og den er altid lig med noget (i matematik er dette ord betegnet med tegnet "="). Ulighed er en model, hvor en værdi enten er større eller mindre end en anden, eller indeholder påstanden om, at de ikke er ens. I det første tilfælde er det således på sin plads at tale om ligestilling, og i det andet, hvor indlysende det end måtte lyde ud fraselve navnet, om uligheden i de oprindelige data. Systemerne af ligninger og uligheder adskiller sig praktisk t alt ikke fra hinanden, og metoderne til deres løsning er de samme. Den eneste forskel er, at førstnævnte bruger ligheder, mens sidstnævnte bruger uligheder.
Typer af uligheder
Der er to typer uligheder: numerisk og med en ukendt variabel. Den første type er givet værdier (tal), der ikke er lig med hinanden, for eksempel 8 > 10. Den anden type er uligheder, der indeholder en ukendt variabel (angivet med et bogstav i det latinske alfabet, oftest X). Denne variabel skal findes. Afhængigt af hvor mange der er, skelner den matematiske model mellem uligheder med én (de udgør et system af uligheder med én variabel) eller flere variable (de udgør et system af uligheder med flere variable).
De sidste to typer, afhængigt af graden af deres konstruktion og kompleksitetsniveauet af løsningen, er opdelt i simple og komplekse. Simple kaldes også lineære uligheder. De er til gengæld opdelt i strenge og ikke-strenge. Streng specifikt "sig" at én værdi skal være enten mindre eller mere, så dette er ren ulighed. Der er flere eksempler: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5 osv. Ikke-strenge omfatter også ligestilling. Det vil sige, at en værdi kan være større end eller lig med en anden værdi (tegn "≧") eller mindre end eller lig med en anden værdi (tegn "≦"). Stadig i køI uligheder står variablen ikke ved roden, kvadratet, er ikke delelig med noget, hvorfor de kaldes "simple". Komplekse omfatter ukendte variabler, hvis fundet kræver mere matematiske operationer. De er ofte i en kvadrat, terning eller under roden, de kan være modulære, logaritmiske, brøkdele osv. Men da vores opgave er at forstå løsningen af ulighedssystemer, vil vi tale om et system af lineære uligheder. Men før det skal der siges et par ord om deres egenskaber.
Uligheders egenskaber
Egenskaberne ved uligheder omfatter følgende bestemmelser:
- Ulighedstegnet vendes, hvis handlingen til at ændre rækkefølgen af sider anvendes (f.eks. hvis t1 ≦ t2, derefter t 2 ≧ t1).
- Begge dele af uligheden giver dig mulighed for at tilføje det samme tal til dig selv (f.eks. hvis t1 ≦ t2, derefter t 1 + tal ≦ t2 + tal).
- To eller flere uligheder med tegnet i samme retning giver dig mulighed for at tilføje deres venstre og højre del (f.eks. hvis t1 ≧ t2 , t3 ≧ t4, derefter t1 + t 3 ≧ t2 + t4).
- Begge dele af uligheden lader sig gange eller dividere med det samme positive tal (f.eks. hvis t1 ≦ t2og tal ≦ 0, derefter nummer t1 ≧ tal t2).
- To eller flere uligheder, der har positive udtryk og et tegn på samme retning, tillader detgange hinanden (f.eks. hvis t1 ≦ t2, t3 ≦ t4, t1, t2, t3, t 4 ≧ 0 derefter t1 t3 ≦ t2 t4).
- Begge dele af uligheden lader sig gange eller dividere med det samme negative tal, men ulighedstegnet ændres (f.eks. hvis t1 ≦ t2 og tal ≦ 0, derefter nummer t1 ≧ tal t2).
- Alle uligheder er transitive (f.eks. hvis t1 ≦ t2 og t2≦ t3, derefter t1 ≦ t3).
Nu, efter at have studeret de vigtigste bestemmelser i teorien vedrørende uligheder, kan vi gå direkte videre til overvejelserne om reglerne for løsning af deres systemer.
Løsning af ulighedssystemer. Generel information. Løsninger
Som nævnt ovenfor er løsningen værdierne af variablen, der passer til alle ulighederne i det givne system. Løsningen af ulighedssystemer er implementeringen af matematiske operationer, der i sidste ende fører til løsningen af hele systemet eller beviser, at det ikke har nogen løsninger. I dette tilfælde siges variablen at referere til det tomme talsæt (skrevet som følger: bogstavet, der angiver variablen ∈ (tegnet "hører til") ø (tegnet "tomt sæt"), for eksempel x ∈ ø (det læses sådan: "Variablen "x" hører til den tomme mængde"). Der er flere måder at løse ulighedssystemer på:grafisk, algebraisk, substitutionsmetode. Det er værd at bemærke, at de refererer til de matematiske modeller, der har flere ukendte variabler. I det tilfælde, hvor der kun er én, vil afstandsmetoden fungere.
Grafisk metode
Giver dig mulighed for at løse et system af uligheder med flere ubekendte (fra to eller flere). Takket være denne metode løses systemet med lineære uligheder ret nemt og hurtigt, så det er den mest almindelige metode. Dette skyldes, at plotning reducerer mængden af skrivning af matematiske operationer. Det bliver især behageligt at tage en lille pause fra pennen, tage en blyant med en lineal op og fortsætte med yderligere handlinger med deres hjælp, når der er gjort meget arbejde, og du vil have lidt variation. Nogle kan dog ikke lide denne metode på grund af det faktum, at du er nødt til at bryde væk fra opgaven og skifte din mentale aktivitet til at tegne. Det er dog en meget effektiv måde.
For at løse et system af uligheder ved hjælp af en grafisk metode, er det nødvendigt at overføre alle medlemmer af hver ulighed til deres venstre side. Tegnene vil blive omvendt, nul skal skrives til højre, så skal hver ulighed skrives separat. Som et resultat vil funktioner blive opnået fra uligheder. Derefter kan du få en blyant og en lineal: nu skal du tegne en graf for hver opnået funktion. Hele sættet af tal, der vil være i intervallet af deres skæringspunkt, vil være løsningen på systemet af uligheder.
Algebraisk måde
Giver dig mulighed for at løse et system af uligheder med to ukendte variable. Uligheder skal også have det samme ulighedstegn (det vil sige, at de enten kun skal indeholde tegnet "større end" eller kun tegnet "mindre end" osv.) På trods af sine begrænsninger er denne metode også mere kompliceret. Den anvendes i to trin.
Den første involverer at slippe af med en af de ukendte variabler. Først skal du vælge det og derefter kontrollere, om der er tal foran denne variabel. Hvis der ikke er nogen (så vil variablen ligne et enkelt bogstav), så ændrer vi ikke noget, hvis der er (variablens type vil f.eks. være 5y eller 12y), så er det nødvendigt at sikre sig at i hver ulighed er tallet foran den valgte variabel det samme. For at gøre dette skal du gange hvert medlem af ulighederne med en fælles faktor, for eksempel hvis 3y er skrevet i den første ulighed og 5y i den anden, så skal du gange alle medlemmerne af den første ulighed med 5, og den anden med 3. Du får henholdsvis 15y og 15y.
Den anden fase af beslutningen. Det er nødvendigt at overføre venstre side af hver ulighed til deres højre side med en ændring i tegnet for hvert led til det modsatte, skriv nul til højre. Så kommer den sjove del: at slippe af med den valgte variabel (også kendt som "reduktion"), mens ulighederne lægges sammen. Du vil få en ulighed med én variabel, der skal løses. Derefter skal du gøre det samme, kun med en anden ukendt variabel. De opnåede resultater vil være systemets løsning.
Udskiftningsmetode
Giver dig mulighed for at løse et system af uligheder, når du har mulighed for at introducere en ny variabel. Norm alt bruges denne metode, når den ukendte variabel i et led af uligheden hæves til fjerde potens, og i det andet led er det kvadreret. Denne metode har således til formål at reducere graden af uligheder i systemet. Prøveuligheden x4 - x2 - 1 ≦ 0 løses på denne måde som følger. En ny variabel introduceres, for eksempel t. De skriver: "Lad t=x2", så omskrives modellen i en ny form. I vores tilfælde får vi t2 - t - 1 ≦0. Denne ulighed skal løses ved hjælp af intervalmetoden (om det lidt senere), vend derefter tilbage til variablen X, og gør det samme med en anden ulighed. De modtagne svar vil være systemets beslutning.
Intervalmetode
Dette er den nemmeste måde at løse ulighedssystemer på, og samtidig er den universel og udbredt. Det bruges i gymnasiet, og endda i gymnasiet. Dens essens ligger i, at eleven leder efter ulighedsintervaller på tallinjen, som er tegnet i en notesbog (dette er ikke en graf, men bare en almindelig lige linje med tal). Hvor ulighedernes intervaller skærer hinanden, findes systemets løsning. Følg disse trin for at bruge afstandsmetoden:
- Alle medlemmer af hver ulighed overføres til venstre side med et tegnskifte til det modsatte (nul er skrevet til højre).
- Uligheder skrives ud separat, løsningen af hver af dem bestemmes.
- Skæringspunkterne mellem uligheder på det numeriskelige. Alle tal ved disse vejkryds vil være løsningen.
Hvilken måde at bruge?
Selvfølgelig den, der virker den nemmeste og mest bekvemme, men der er tidspunkter, hvor opgaver kræver en bestemt metode. Oftest siger man, at man skal løse enten ved hjælp af en graf eller ved hjælp af intervalmetoden. Den algebraiske metode og substitution bruges ekstremt sjældent eller slet ikke, da de er ret komplekse og forvirrende, og desuden er de mere brugt til at løse ligningssystemer frem for uligheder, så du bør ty til at tegne grafer og intervaller. De bringer synlighed, som ikke kan andet end at bidrage til en effektiv og hurtig gennemførelse af matematiske operationer.
Hvis noget ikke virker
Under studiet af et bestemt emne i algebra kan der selvfølgelig være problemer med dets forståelse. Og det er norm alt, fordi vores hjerne er designet på en sådan måde, at den ikke er i stand til at forstå komplekst materiale på én gang. Ofte har du brug for at genlæse et afsnit, tage hjælp fra en lærer eller øve dig i at løse typiske problemer. I vores tilfælde ser de for eksempel sådan ud: "Løs systemet med uligheder 3 x + 1 ≧ 0 og 2 x - 1 > 3". Personlig stræben, hjælp fra udenforstående og praksis hjælper således med at forstå et komplekst emne.
Reshebnik?
Og løsningsbogen er også meget god, men ikke til at snyde lektier, men til selvhjælp. I dem kan du finde ulighedssystemer med en løsning, se pådem (som skabeloner), prøv at forstå præcis, hvordan forfatteren af løsningen klarede opgaven, og prøv derefter at gøre det på egen hånd.
Konklusioner
Algebra er et af de sværeste fag i skolen. Nå, hvad kan du gøre? Matematik har altid været sådan: For nogle kommer det nemt, og for andre er det svært. Men under alle omstændigheder skal man huske på, at den almene uddannelse er tilrettelagt på en sådan måde, at enhver elev kan klare det. Derudover skal du huske på et stort antal assistenter. Nogle af dem er blevet nævnt ovenfor.
